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Ejercicios de Cálculo
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6.5 Integrales trigonométricas

Contenidos de esta sección

  1. Integral de sen² x

    Tema
    6. Integrales › 6.5 Integrales trigonométricas
    Dificultad
    Básico
    Método
    Identidad de reducción de potencia

    Calcula ∫sen⁡2x dx\displaystyle \int \operatorname{sen}^2 x\,dx.

    Ver solución
    1. Para potencias pares de seno o coseno se usa la reducción de potencia: sen⁡2x=1−cos⁡(2x)2\operatorname{sen}^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}.
    2. ∫sen⁡2x dx=12∫(1−cos⁡(2x))dx\int \operatorname{sen}^2 x\,dx = \frac{1}{2}\int\left(1 - \cos(2x)\right)dx.
    3. =12(x−sen⁡(2x)2)=x2−sen⁡(2x)4+C= \frac{1}{2}\left(x - \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2}\right) = \frac{x}{2} - \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4} + C.

    Resultado final: ∫sen⁡2x dx=x2−sen⁡(2x)4+C\displaystyle \int \operatorname{sen}^2 x\,dx = \frac{x}{2} - \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4} + C

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  2. Integral de cos³ x: potencia impar

    Tema
    6. Integrales › 6.5 Integrales trigonométricas
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Separar un factor y usar la identidad pitagórica

    Calcula ∫cos⁡3x dx\displaystyle \int \cos^3 x\,dx.

    Ver solución
    1. Con potencia impar se separa un factor: cos⁡3x=cos⁡2xcos⁡x=(1−sen⁡2x)cos⁡x\cos^3 x = \cos^2 x\cos x = \left(1 - \operatorname{sen}^2 x\right)\cos x.
    2. Hacemos u=sen⁡xu = \operatorname{sen} x, con du=cos⁡x dxdu = \cos x\,dx: ∫(1−u2)du=u−u33\int\left(1 - u^2\right)du = u - \frac{u^3}{3}.
    3. Regresamos a xx: sen⁡x−sen⁡3x3+C\operatorname{sen} x - \frac{\operatorname{sen}^3 x}{3} + C.

    Resultado final: ∫cos⁡3x dx=sen⁡x−sen⁡3x3+C\displaystyle \int \cos^3 x\,dx = \operatorname{sen} x - \frac{\operatorname{sen}^3 x}{3} + C

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  3. Producto de potencias con seno impar

    Tema
    6. Integrales › 6.5 Integrales trigonométricas
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Separar sen x y sustituir u = cos x

    Calcula ∫sen⁡3xcos⁡2x dx\displaystyle \int \operatorname{sen}^3 x\cos^2 x\,dx.

    Ver solución
    1. La potencia del seno es impar: separamos un sen⁡x\operatorname{sen} x y escribimos sen⁡2x=1−cos⁡2x\operatorname{sen}^2 x = 1 - \cos^2 x. Queda ∫(1−cos⁡2x)cos⁡2xsen⁡x dx\int\left(1 - \cos^2 x\right)\cos^2 x\operatorname{sen} x\,dx.
    2. Hacemos u=cos⁡xu = \cos x, con du=−sen⁡x dxdu = -\operatorname{sen} x\,dx: −∫(1−u2)u2 du=−∫(u2−u4)du-\int\left(1 - u^2\right)u^2\,du = -\int\left(u^2 - u^4\right)du.
    3. =−u33+u55= -\frac{u^3}{3} + \frac{u^5}{5}.
    4. Regresamos a xx: −cos⁡3x3+cos⁡5x5+C-\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C.

    Resultado final: ∫sen⁡3xcos⁡2x dx=−cos⁡3x3+cos⁡5x5+C\displaystyle \int \operatorname{sen}^3 x\cos^2 x\,dx = -\frac{\cos^3 x}{3} + \frac{\cos^5 x}{5} + C

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  4. Producto de potencias pares de seno y coseno

    Tema
    6. Integrales › 6.5 Integrales trigonométricas
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Ángulo doble y reducción de potencia

    Calcula ∫sen⁡2xcos⁡2x dx\displaystyle \int \operatorname{sen}^2 x\cos^2 x\,dx.

    Ver solución
    1. Por el ángulo doble: sen⁡xcos⁡x=12sen⁡(2x)\operatorname{sen} x\cos x = \frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x), así que sen⁡2xcos⁡2x=14sen⁡2(2x)\operatorname{sen}^2 x\cos^2 x = \frac{1}{4}\operatorname{sen}^2(2x).
    2. Reducción de potencia: sen⁡2(2x)=1−cos⁡(4x)2\operatorname{sen}^2(2x) = \frac{1 - \cos(4x)}{2}. El integrando es 1−cos⁡(4x)8\frac{1 - \cos(4x)}{8}.
    3. ∫1−cos⁡(4x)8 dx=x8−sen⁡(4x)32+C\int \frac{1 - \cos(4x)}{8}\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\operatorname{sen}(4x)}{32} + C.

    Resultado final: ∫sen⁡2xcos⁡2x dx=x8−sen⁡(4x)32+C\displaystyle \int \operatorname{sen}^2 x\cos^2 x\,dx = \frac{x}{8} - \frac{\operatorname{sen}(4x)}{32} + C

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  5. Potencia de tangente por sec² x

    Tema
    6. Integrales › 6.5 Integrales trigonométricas
    Dificultad
    Básico
    Método
    Sustitución u = tan x

    Calcula ∫tan⁡3xsec⁡2x dx\displaystyle \int \tan^3 x\sec^2 x\,dx.

    Ver solución
    1. sec⁡2x\sec^2 x es la derivada de tan⁡x\tan x. Hacemos u=tan⁡xu = \tan x, con du=sec⁡2x dxdu = \sec^2 x\,dx.
    2. ∫u3 du=u44\int u^3\,du = \frac{u^4}{4}.
    3. Regresamos a xx: tan⁡4x4+C\frac{\tan^4 x}{4} + C.

    Resultado final: ∫tan⁡3xsec⁡2x dx=tan⁡4x4+C\displaystyle \int \tan^3 x\sec^2 x\,dx = \frac{\tan^4 x}{4} + C

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  6. Integral de sec⁴ x

    Tema
    6. Integrales › 6.5 Integrales trigonométricas
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Separar sec² x y usar sec² x = 1 + tan² x

    Calcula ∫sec⁡4x dx\displaystyle \int \sec^4 x\,dx.

    Ver solución
    1. Con potencia par de la secante se separa un sec⁡2x\sec^2 x: sec⁡4x=sec⁡2x⋅sec⁡2x=(1+tan⁡2x)sec⁡2x\sec^4 x = \sec^2 x \cdot \sec^2 x = \left(1 + \tan^2 x\right)\sec^2 x.
    2. Hacemos u=tan⁡xu = \tan x, con du=sec⁡2x dxdu = \sec^2 x\,dx: ∫(1+u2)du=u+u33\int\left(1 + u^2\right)du = u + \frac{u^3}{3}.
    3. Regresamos a xx: tan⁡x+tan⁡3x3+C\tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + C.

    Resultado final: ∫sec⁡4x dx=tan⁡x+tan⁡3x3+C\displaystyle \int \sec^4 x\,dx = \tan x + \frac{\tan^3 x}{3} + C

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  7. Integral de la tangente

    Tema
    6. Integrales › 6.5 Integrales trigonométricas
    Dificultad
    Básico
    Método
    Reescritura como cociente y sustitución u = cos x

    Calcula ∫tan⁡x dx\displaystyle \int \tan x\,dx.

    Ver solución
    1. Escribimos tan⁡x=sen⁡xcos⁡x\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}.
    2. Hacemos u=cos⁡xu = \cos x, con du=−sen⁡x dxdu = -\operatorname{sen} x\,dx: ∫sen⁡xcos⁡x dx=−∫duu=−ln⁡∣u∣\int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}\,dx = -\int \frac{du}{u} = -\ln|u|.
    3. Resultado: −ln⁡∣cos⁡x∣+C-\ln|\cos x| + C. Como −ln⁡∣cos⁡x∣=ln⁡∣1cos⁡x∣-\ln|\cos x| = \ln\left|\frac{1}{\cos x}\right|, también se escribe ln⁡∣sec⁡x∣+C\ln|\sec x| + C.

    Resultado final: ∫tan⁡x dx=−ln⁡∣cos⁡x∣+C=ln⁡∣sec⁡x∣+C\displaystyle \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C

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  8. Cotangente por cosecante al cuadrado

    Tema
    6. Integrales › 6.5 Integrales trigonométricas
    Dificultad
    Básico
    Método
    Sustitución u = cot x

    Calcula ∫cot⁡xcsc⁡2x dx\displaystyle \int \cot x\csc^2 x\,dx.

    Ver solución
    1. Como (cot⁡x)′=−csc⁡2x(\cot x)' = -\csc^2 x, hacemos u=cot⁡xu = \cot x, con du=−csc⁡2x dxdu = -\csc^2 x\,dx.
    2. ∫cot⁡xcsc⁡2x dx=−∫u du=−u22\int \cot x\csc^2 x\,dx = -\int u\,du = -\frac{u^2}{2}.
    3. Regresamos a xx: −cot⁡2x2+C-\frac{\cot^2 x}{2} + C.

    Resultado final: ∫cot⁡xcsc⁡2x dx=−cot⁡2x2+C\displaystyle \int \cot x\csc^2 x\,dx = -\frac{\cot^2 x}{2} + C

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  9. Producto de senos y cosenos con argumentos distintos

    Tema
    6. Integrales › 6.5 Integrales trigonométricas
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Fórmula de producto a suma

    Calcula ∫sen⁡(3x)cos⁡(2x) dx\displaystyle \int \operatorname{sen}(3x)\cos(2x)\,dx.

    Ver solución
    1. Fórmula de producto a suma: sen⁡Acos⁡B=12[sen⁡(A+B)+sen⁡(A−B)]\operatorname{sen} A\cos B = \frac{1}{2}\left[\operatorname{sen}(A + B) + \operatorname{sen}(A - B)\right].
    2. Con A=3xA = 3x y B=2xB = 2x: sen⁡(3x)cos⁡(2x)=12[sen⁡(5x)+sen⁡x]\operatorname{sen}(3x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\left[\operatorname{sen}(5x) + \operatorname{sen} x\right].
    3. Integramos: 12[−cos⁡(5x)5−cos⁡x]+C\frac{1}{2}\left[-\frac{\cos(5x)}{5} - \cos x\right] + C.

    Resultado final: ∫sen⁡(3x)cos⁡(2x) dx=−cos⁡(5x)10−cos⁡x2+C\displaystyle \int \operatorname{sen}(3x)\cos(2x)\,dx = -\frac{\cos(5x)}{10} - \frac{\cos x}{2} + C

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  10. Integral de sen⁴ x

    Tema
    6. Integrales › 6.5 Integrales trigonométricas
    Dificultad
    Avanzado
    Método
    Reducción de potencia aplicada dos veces

    Calcula ∫sen⁡4x dx\displaystyle \int \operatorname{sen}^4 x\,dx.

    Ver solución
    1. sen⁡4x=(sen⁡2x)2=(1−cos⁡(2x)2)2=1−2cos⁡(2x)+cos⁡2(2x)4\operatorname{sen}^4 x = \left(\operatorname{sen}^2 x\right)^2 = \left(\frac{1 - \cos(2x)}{2}\right)^2 = \frac{1 - 2\cos(2x) + \cos^2(2x)}{4}.
    2. Reducimos de nuevo: cos⁡2(2x)=1+cos⁡(4x)2\cos^2(2x) = \frac{1 + \cos(4x)}{2}. Entonces sen⁡4x=38−cos⁡(2x)2+cos⁡(4x)8\operatorname{sen}^4 x = \frac{3}{8} - \frac{\cos(2x)}{2} + \frac{\cos(4x)}{8}.
    3. Integramos término a término: 3x8−sen⁡(2x)4+sen⁡(4x)32+C\frac{3x}{8} - \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4} + \frac{\operatorname{sen}(4x)}{32} + C.

    Resultado final: ∫sen⁡4x dx=3x8−sen⁡(2x)4+sen⁡(4x)32+C\displaystyle \int \operatorname{sen}^4 x\,dx = \frac{3x}{8} - \frac{\operatorname{sen}(2x)}{4} + \frac{\operatorname{sen}(4x)}{32} + C

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