2.9 Límites de tipo infinito entre infinito

1. ∞/∞ con polinomios de igual grado

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.9 Límites de tipo infinito entre infinito

   Dificultad

   Básico

   Método

   División por la mayor potencia de x

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - x + 7}{2x^3 + 5x^2}$$

   Ver solución

   1. Numerador y denominador tienden a $\infty$: indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Ambos polinomios son de grado $3$.
   2. Dividimos numerador y denominador entre $x^3$: $\frac{4 - \frac{1}{x^2} + \frac{7}{x^3}}{2 + \frac{5}{x}}$.
   3. Cuando $x \to \infty$, los términos $\frac{1}{x^2}$, $\frac{7}{x^3}$ y $\frac{5}{x}$ tienden a $0$.
   4. El límite es $\frac{4}{2} = 2$: el cociente de los coeficientes principales, como corresponde a polinomios de igual grado.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{4x^3 - x + 7}{2x^3 + 5x^2} = 2$

   Abrir este ejercicio en su propia página

2. ∞/∞ de igual grado cuando x tiende a −∞

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.9 Límites de tipo infinito entre infinito

   Dificultad

   Básico

   Método

   División por la mayor potencia de x

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to -\infty} \frac{5x^2 + 1}{1 - 3x^2}$$

   Ver solución

   1. Cuando $x \to -\infty$: el numerador tiende a $+\infty$ y el denominador a $-\infty$. Es una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$.
   2. Dividimos entre $x^2$ (positivo para $x \neq 0$): $\frac{5 + \frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2} - 3}$.
   3. Cuando $x \to -\infty$, $\frac{1}{x^2} \to 0$.
   4. El límite es $\frac{5}{-3} = -\frac{5}{3}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{5x^2 + 1}{1 - 3x^2} = -\frac{5}{3}$

   Abrir este ejercicio en su propia página

3. ∞/∞ con el denominador de mayor grado

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.9 Límites de tipo infinito entre infinito

   Dificultad

   Básico

   Método

   División por la mayor potencia de x

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 - x}$$

   Ver solución

   1. Numerador y denominador tienden a $\infty$: indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. El numerador es de grado $2$ y el denominador de grado $3$.
   2. Dividimos entre la mayor potencia, $x^3$: $\frac{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^3}}{1 - \frac{1}{x^2}}$.
   3. Cuando $x \to \infty$, el numerador tiende a $0$ y el denominador a $1$.
   4. El límite es $\frac{0}{1} = 0$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^3 - x} = 0$

   Abrir este ejercicio en su propia página

4. ∞/∞ con el numerador de mayor grado

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.9 Límites de tipo infinito entre infinito

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   División por la mayor potencia del denominador

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 2}{3x^3 + x}$$

   Ver solución

   1. Numerador y denominador tienden a $\infty$: indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. El numerador es de grado $4$ y el denominador de grado $3$.
   2. Dividimos entre $x^3$, la mayor potencia del denominador: $\frac{x - \frac{2}{x^3}}{3 + \frac{1}{x^2}}$.
   3. Cuando $x \to \infty$: el numerador $x - \frac{2}{x^3} \to +\infty$ y el denominador tiende a $3 > 0$.
   4. Una cantidad que tiende a $+\infty$ dividida entre otra que tiende a $3 > 0$ tiende a $+\infty$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^4 - 2}{3x^3 + x} = +\infty$

   Abrir este ejercicio en su propia página

5. ∞/∞ de distinto grado cuando x tiende a −∞

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.9 Límites de tipo infinito entre infinito

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   División por la mayor potencia del denominador y análisis del signo

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3 + x}{x^2 - 1}$$

   Ver solución

   1. Cuando $x \to -\infty$: el numerador tiende a $-\infty$ y el denominador a $+\infty$. Es una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$.
   2. Dividimos entre $x^2$: $\frac{2x + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x^2}}$.
   3. Cuando $x \to -\infty$: el numerador $2x + \frac{1}{x} \to -\infty$ y el denominador tiende a $1 > 0$.
   4. El cociente tiende a $-\infty$. El signo lo determina el término dominante $\frac{2x^3}{x^2} = 2x$, que es negativo para $x < 0$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^3 + x}{x^2 - 1} = -\infty$

   Abrir este ejercicio en su propia página

6. ∞/∞ con una raíz cuadrada en el numerador

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.9 Límites de tipo infinito entre infinito

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Extracción de x del radical

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2 + x}}{3x - 1}$$

   Ver solución

   1. Numerador y denominador tienden a $\infty$: indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$.
   2. Para $x > 0$ sacamos $x$ del radical: $\sqrt{4x^2 + x} = \sqrt{x^2\left(4 + \frac{1}{x}\right)} = x\sqrt{4 + \frac{1}{x}}$, porque $\sqrt{x^2} = |x| = x$.
   3. En el denominador: $3x - 1 = x\left(3 - \frac{1}{x}\right)$.
   4. Simplificamos $x$: $\frac{\sqrt{4 + \frac{1}{x}}}{3 - \frac{1}{x}}$.
   5. Cuando $x \to \infty$: $\frac{\sqrt{4}}{3} = \frac{2}{3}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4x^2 + x}}{3x - 1} = \frac{2}{3}$

   Abrir este ejercicio en su propia página

7. ∞/∞ con una raíz cúbica en el numerador

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.9 Límites de tipo infinito entre infinito

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Extracción de x del radical

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{8x^3 + x^2} + x}{2x + 5}$$

   Ver solución

   1. Numerador y denominador tienden a $\infty$: indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$.
   2. Sacamos $x$ de la raíz cúbica (válido para cualquier signo de $x$, pues $\sqrt[3]{x^3} = x$): $\sqrt[3]{8x^3 + x^2} = \sqrt[3]{x^3\left(8 + \frac{1}{x}\right)} = x\sqrt[3]{8 + \frac{1}{x}}$.
   3. El numerador queda $x\left(\sqrt[3]{8 + \frac{1}{x}} + 1\right)$ y el denominador $x\left(2 + \frac{5}{x}\right)$.
   4. Simplificamos $x$: $\frac{\sqrt[3]{8 + \frac{1}{x}} + 1}{2 + \frac{5}{x}}$.
   5. Cuando $x \to \infty$: $\frac{\sqrt[3]{8} + 1}{2} = \frac{2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt[3]{8x^3 + x^2} + x}{2x + 5} = \frac{3}{2}$

   Abrir este ejercicio en su propia página

8. Crecimiento del logaritmo frente a la raíz cuadrada

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.9 Límites de tipo infinito entre infinito

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Cambio de variable y teorema del encaje

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}}$$

   Ver solución

   1. Numerador y denominador tienden a $\infty$: indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Mostraremos que la raíz crece más rápido que el logaritmo.
   2. Hacemos $t = \frac{\ln x}{2}$. Cuando $x \to \infty$, $t \to \infty$, y $x = e^{2t}$. Entonces $\sqrt{x} = e^{t}$ y $\ln x = 2t$, así que $\frac{\ln x}{\sqrt{x}} = \frac{2t}{e^{t}}$.
   3. Para $t > 0$ se cumple $e^{t} > \frac{t^2}{2}$. La función $g(t) = e^{t} - 1 - t - \frac{t^2}{2}$ vale $0$ en $t = 0$ y tiene derivada $g'(t) = e^{t} - 1 - t > 0$ para $t > 0$, así que es creciente y positiva.
   4. Entonces, para $t > 0$: $0 < \frac{2t}{e^{t}} < \frac{2t}{t^2/2} = \frac{4}{t}$, y $\frac{4}{t} \to 0$.
   5. Por el teorema del encaje, $\frac{2t}{e^{t}} \to 0$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} = 0$

   Abrir este ejercicio en su propia página

9. Crecimiento de un polinomio frente a la exponencial

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.9 Límites de tipo infinito entre infinito

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Acotación de la exponencial y teorema del encaje

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^{x}}$$

   Ver solución

   1. Numerador y denominador tienden a $\infty$: indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. Probaremos que la exponencial crece más rápido que cualquier polinomio.
   2. Desigualdad auxiliar: para $x > 0$ y todo entero $n \ge 0$, $e^{x} > 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!}$. Se prueba por inducción: si $g_n(x) = e^{x} - \left(1 + x + \cdots + \frac{x^n}{n!}\right)$, entonces $g_n(0) = 0$ y $g_n'(x) = g_{n-1}(x) > 0$ para $x > 0$, con $g_0(x) = e^{x} - 1 > 0$.
   3. Con $n = 4$, en particular $e^{x} > \frac{x^4}{24}$ para $x > 0$.
   4. Entonces $0 < \frac{x^3}{e^{x}} < \frac{x^3}{x^4/24} = \frac{24}{x}$, y $\frac{24}{x} \to 0$ cuando $x \to \infty$.
   5. Por el teorema del encaje, $\frac{x^3}{e^{x}} \to 0$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{x^3}{e^{x}} = 0$

   Abrir este ejercicio en su propia página

10. ∞/∞ con exponenciales de distinta base

    Tema

    2. Límites de funciones › 2.9 Límites de tipo infinito entre infinito

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    División por la exponencial de mayor base

    Calcula el siguiente límite:

    $$\lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} + 3^{x}}{3^{x+1} - 2^{x}}$$

    Ver solución

    1. Numerador y denominador tienden a $\infty$: indeterminación $\frac{\infty}{\infty}$. La exponencial dominante es la de mayor base, $3^{x}$.
    2. Escribimos $3^{x+1} = 3 \cdot 3^{x}$ y dividimos numerador y denominador entre $3^{x} > 0$: $\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^{x} + 1}{3 - \left(\frac{2}{3}\right)^{x}}$.
    3. Como $0 < \frac{2}{3} < 1$, se cumple $\left(\frac{2}{3}\right)^{x} \to 0$ cuando $x \to \infty$.
    4. El límite es $\frac{0 + 1}{3 - 0} = \frac{1}{3}$.

    Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{2^{x} + 3^{x}}{3^{x+1} - 2^{x}} = \frac{1}{3}$

    Abrir este ejercicio en su propia página