2.4 Límites con radicales e indeterminaciones

1. Indeterminación 0/0 por racionalización

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.4 Límites con radicales e indeterminaciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Racionalización con el conjugado

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$ obtenemos $\frac{\sqrt{4} - 2}{0} = \frac{0}{0}$, una indeterminación.
   2. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado $\sqrt{x + 4} + 2$: $$\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} \cdot \frac{\sqrt{x + 4} + 2}{\sqrt{x + 4} + 2} = \frac{(x + 4) - 4}{x\left(\sqrt{x + 4} + 2\right)}$$
   3. El numerador se reduce a $x$, y como $x \neq 0$ lo simplificamos: $\frac{x}{x\left(\sqrt{x + 4} + 2\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2}$.
   4. Esta expresión es continua en $x = 0$, así que sustituimos: $\frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{2 + 2} = \frac{1}{4}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \frac{1}{4}$

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2. Racionalización de la raíz de x

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.4 Límites con radicales e indeterminaciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Racionalización con el conjugado

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 9$: numerador $3 - 3 = 0$ y denominador $0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$. El dominio exige $x \ge 0$, lo que se cumple cerca de $9$.
   2. Multiplicamos numerador y denominador por el conjugado $\sqrt{x} + 3$: $\frac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \frac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)}$.
   3. Para $x \neq 9$ simplificamos: $\frac{1}{\sqrt{x} + 3}$.
   4. La expresión es continua en $x = 9$: $\frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 9} \frac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} = \frac{1}{6}$

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3. Radicales en el numerador y en el denominador

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Doble racionalización con conjugados

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{\sqrt{x} - 1}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 1$: numerador $\sqrt{4} - 2 = 0$ y denominador $1 - 1 = 0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$ con radicales arriba y abajo.
   2. Racionalizamos el numerador: $\sqrt{x + 3} - 2 = \frac{(x + 3) - 4}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{x - 1}{\sqrt{x + 3} + 2}$.
   3. Racionalizamos el denominador: $\sqrt{x} - 1 = \frac{x - 1}{\sqrt{x} + 1}$.
   4. Dividimos, y para $x \neq 1$ el factor $x - 1$ se cancela: $\frac{\sqrt{x + 3} - 2}{\sqrt{x} - 1} = \frac{x - 1}{\sqrt{x + 3} + 2} \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{x - 1} = \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x + 3} + 2}$.
   5. La expresión es continua en $x = 1$: $\frac{1 + 1}{2 + 2} = \frac{1}{2}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1}{2}$

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4. Diferencia de dos raíces cuadradas

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.4 Límites con radicales e indeterminaciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Racionalización con el conjugado de una diferencia de raíces

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$: numerador $1 - 1 = 0$ y denominador $0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$. Cerca de $0$ ambos radicandos son positivos.
   2. Multiplicamos por el conjugado $\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}$: el numerador queda $(1 + x) - (1 - x) = 2x$.
   3. La expresión es $\frac{2x}{x\left(\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}\right)}$, y para $x \neq 0$: $\frac{2}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 - x}}$.
   4. Sustituimos $x = 0$ en la expresión continua: $\frac{2}{1 + 1} = 1$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x} - \sqrt{1 - x}}{x} = 1$

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5. Raíz cúbica con diferencia de cubos

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.4 Límites con radicales e indeterminaciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Racionalización con la identidad de diferencia de cubos

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 8$: numerador $2 - 2 = 0$ y denominador $0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$.
   2. Con $a = \sqrt[3]{x}$ y $b = 2$ se cumple $a^3 - b^3 = x - 8$, y la identidad $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ da $x - 8 = \left(\sqrt[3]{x} - 2\right)\left(\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4\right)$.
   3. Para $x \neq 8$: $\frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} = \frac{1}{\sqrt[3]{x^2} + 2\sqrt[3]{x} + 4}$.
   4. La expresión es continua en $x = 8$: $\sqrt[3]{64} = 4$ y $\sqrt[3]{8} = 2$, así que el límite es $\frac{1}{4 + 4 + 4} = \frac{1}{12}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} = \frac{1}{12}$

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6. Raíz cúbica de 1 + x cerca de cero

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.4 Límites con radicales e indeterminaciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Racionalización con la identidad de diferencia de cubos

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + x} - 1}{x}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 0$: numerador $1 - 1 = 0$ y denominador $0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$.
   2. Sea $a = \sqrt[3]{1 + x}$. Entonces $a^3 - 1 = x$, y por la diferencia de cubos $a^3 - 1 = (a - 1)(a^2 + a + 1)$.
   3. Por lo tanto $x = \left(\sqrt[3]{1 + x} - 1\right)\left(\sqrt[3]{(1 + x)^2} + \sqrt[3]{1 + x} + 1\right)$, y para $x \neq 0$: $\frac{\sqrt[3]{1 + x} - 1}{x} = \frac{1}{\sqrt[3]{(1 + x)^2} + \sqrt[3]{1 + x} + 1}$.
   4. La expresión es continua en $x = 0$: $\frac{1}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1 + x} - 1}{x} = \frac{1}{3}$

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7. Raíz cuarta mediante cambio de variable

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.4 Límites con radicales e indeterminaciones

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Cambio de variable para eliminar el radical

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[4]{x} - 1}{x - 1}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 1$ se obtiene $\frac{0}{0}$. Para eliminar el radical de índice $4$ hacemos $t = \sqrt[4]{x}$, con $x > 0$; entonces $x = t^4$.
   2. Cuando $x \to 1$, también $t \to 1$ (la raíz cuarta es continua en $1$), y $t \neq 1$ si $x \neq 1$.
   3. El límite se transforma en $\displaystyle \lim_{t \to 1} \frac{t - 1}{t^4 - 1}$.
   4. Factorizamos: $t^4 - 1 = (t^2 - 1)(t^2 + 1) = (t - 1)(t + 1)(t^2 + 1)$. Para $t \neq 1$: $\frac{t - 1}{(t - 1)(t + 1)(t^2 + 1)} = \frac{1}{(t + 1)(t^2 + 1)}$.
   5. Sustituimos $t = 1$: $\frac{1}{(2)(2)} = \frac{1}{4}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt[4]{x} - 1}{x - 1} = \frac{1}{4}$

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8. Radical en el numerador y diferencia de cuadrados abajo

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.4 Límites con radicales e indeterminaciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Racionalización y factorización

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x^2 - 9}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 3$: numerador $\sqrt{4} - 2 = 0$ y denominador $9 - 9 = 0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$.
   2. Racionalizamos el numerador: $\sqrt{x + 1} - 2 = \frac{(x + 1) - 4}{\sqrt{x + 1} + 2} = \frac{x - 3}{\sqrt{x + 1} + 2}$.
   3. Factorizamos el denominador: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
   4. Para $x \neq 3$: $\frac{x - 3}{\left(\sqrt{x + 1} + 2\right)(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{\left(\sqrt{x + 1} + 2\right)(x + 3)}$.
   5. Sustituimos $x = 3$: $\frac{1}{(2 + 2)(3 + 3)} = \frac{1}{24}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 3} \frac{\sqrt{x + 1} - 2}{x^2 - 9} = \frac{1}{24}$

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9. Una constante menos un radical

   Tema

   2. Límites de funciones › 2.4 Límites con radicales e indeterminaciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Racionalización con el conjugado

   Calcula el siguiente límite:

   $$\lim_{x \to 4} \frac{3 - \sqrt{x + 5}}{x - 4}$$

   Ver solución

   1. Al sustituir $x = 4$: numerador $3 - \sqrt{9} = 0$ y denominador $0$. Es una indeterminación $\frac{0}{0}$.
   2. Multiplicamos por el conjugado $3 + \sqrt{x + 5}$: el numerador queda $9 - (x + 5) = 4 - x = -(x - 4)$.
   3. La expresión es $\frac{-(x - 4)}{(x - 4)\left(3 + \sqrt{x + 5}\right)}$, y para $x \neq 4$: $-\frac{1}{3 + \sqrt{x + 5}}$.
   4. Sustituimos $x = 4$: $-\frac{1}{3 + 3} = -\frac{1}{6}$.

   Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 4} \frac{3 - \sqrt{x + 5}}{x - 4} = -\frac{1}{6}$

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10. Raíz cuadrada menos raíz cúbica

    Tema

    2. Límites de funciones › 2.4 Límites con radicales e indeterminaciones

    Dificultad

    Avanzado

    Método

    Cambio de variable con el mínimo común índice

    Calcula el siguiente límite:

    $$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt[3]{x + 1}}{x}$$

    Ver solución

    1. Al sustituir $x = 0$ se obtiene $\frac{1 - 1}{0} = \frac{0}{0}$. El mínimo común múltiplo de los índices $2$ y $3$ es $6$, así que hacemos $t = \sqrt[6]{x + 1}$, con $t > 0$. Entonces $x + 1 = t^6$, $\sqrt{x + 1} = t^3$ y $\sqrt[3]{x + 1} = t^2$.
    2. Cuando $x \to 0$, $t \to 1$, con $t \neq 1$ si $x \neq 0$. Además $x = t^6 - 1$.
    3. El límite se transforma en $\displaystyle \lim_{t \to 1} \frac{t^3 - t^2}{t^6 - 1}$.
    4. Factorizamos: $t^3 - t^2 = t^2(t - 1)$ y $t^6 - 1 = (t - 1)(t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1)$. Para $t \neq 1$: $\frac{t^2}{t^5 + t^4 + t^3 + t^2 + t + 1}$.
    5. Sustituimos $t = 1$: $\frac{1}{6}$.

    Resultado final: $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 1} - \sqrt[3]{x + 1}}{x} = \frac{1}{6}$

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