1.3 Rango o recorrido

1. Rango de una función lineal con dominio restringido

   Tema

   1. Funciones › 1.3 Rango o recorrido

   Dificultad

   Básico

   Método

   Monotonía de la función lineal

   Halla el rango de $f(x) = 3x - 2$ con dominio $[-1, 4]$.

   Ver solución

   1. La pendiente es $3 > 0$, así que $f$ es creciente: el menor valor se alcanza en el extremo izquierdo y el mayor en el derecho.
   2. $f(-1) = -3 - 2 = -5$ y $f(4) = 12 - 2 = 10$.
   3. Partiendo de $-1 \le x \le 4$: multiplicamos por $3$, $-3 \le 3x \le 12$, y restamos $2$: $-5 \le 3x - 2 \le 10$.
   4. Todo $y \in [-5, 10]$ se alcanza: $x = \frac{y + 2}{3}$ cumple $f(x) = y$, y como $-3 \le y + 2 \le 12$, ese $x$ está en $[-1, 4]$.

   Resultado final: $\operatorname{Ran} f = [-5, 10]$

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2. Rango de una cuadrática que abre hacia arriba

   Tema

   1. Funciones › 1.3 Rango o recorrido

   Dificultad

   Básico

   Método

   Completación de cuadrados

   Halla el rango de

   $$f(x) = x^2 - 6x + 11$$

   Ver solución

   1. Completamos cuadrados: $x^2 - 6x + 11 = (x^2 - 6x + 9) + 2 = (x - 3)^2 + 2$.
   2. Para todo $x$ real se cumple $(x - 3)^2 \ge 0$, así que $f(x) \ge 2$.
   3. El valor $2$ se alcanza en $x = 3$ (vértice $(3, 2)$).
   4. Todo valor $y \ge 2$ se alcanza: basta resolver $(x - 3)^2 = y - 2$, que tiene solución $x = 3 + \sqrt{y - 2}$.

   Resultado final: $\operatorname{Ran} f = [2, \infty)$

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3. Rango de una cuadrática que abre hacia abajo

   Tema

   1. Funciones › 1.3 Rango o recorrido

   Dificultad

   Básico

   Método

   Completación de cuadrados

   Halla el rango de

   $$f(x) = -2x^2 + 8x - 3$$

   Ver solución

   1. Factorizamos $-2$ en los términos con $x$: $f(x) = -2(x^2 - 4x) - 3$.
   2. Completamos cuadrados dentro del paréntesis: $x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$. Entonces $f(x) = -2(x - 2)^2 + 8 - 3 = -2(x - 2)^2 + 5$.
   3. Como $-2(x - 2)^2 \le 0$, se cumple $f(x) \le 5$, con igualdad en $x = 2$ (vértice $(2, 5)$).
   4. Todo $y \le 5$ se alcanza: $(x - 2)^2 = \frac{5 - y}{2}$ tiene solución cuando $5 - y \ge 0$.

   Resultado final: $\operatorname{Ran} f = (-\infty, 5]$

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4. Rango de una función racional por despeje

   Tema

   1. Funciones › 1.3 Rango o recorrido

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Despeje de x en función de y

   Halla el rango de

   $$f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$$

   Ver solución

   1. Un valor $y$ está en el rango si la ecuación $y = \frac{2x + 1}{x - 3}$ tiene solución con $x \neq 3$.
   2. Multiplicamos por $x - 3$: $y(x - 3) = 2x + 1$, es decir, $yx - 3y = 2x + 1$.
   3. Agrupamos los términos con $x$: $x(y - 2) = 3y + 1$. Si $y \neq 2$: $x = \frac{3y + 1}{y - 2}$.
   4. Ese $x$ nunca vale $3$: si $\frac{3y + 1}{y - 2} = 3$, entonces $3y + 1 = 3y - 6$, lo cual es imposible.
   5. Si $y = 2$, la ecuación queda $0 \cdot x = 7$, que no tiene solución. Por lo tanto $2$ no está en el rango.

   Resultado final: $\operatorname{Ran} f = \mathbb{R} \setminus \{2\}$

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5. Rango de una función radical

   Tema

   1. Funciones › 1.3 Rango o recorrido

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Acotación del radicando en el dominio

   Halla el rango de

   $$f(x) = \sqrt{16 - x^2}$$

   Ver solución

   1. Dominio: $16 - x^2 \ge 0$, es decir, $-4 \le x \le 4$.
   2. En ese dominio, $0 \le x^2 \le 16$, y por lo tanto $0 \le 16 - x^2 \le 16$.
   3. La raíz cuadrada es creciente, así que $0 \le \sqrt{16 - x^2} \le 4$.
   4. Todo $y \in [0, 4]$ se alcanza: $x = \sqrt{16 - y^2}$ está en $[0, 4]$ y cumple $f(x) = \sqrt{16 - (16 - y^2)} = \sqrt{y^2} = y$, pues $y \ge 0$.

   Resultado final: $\operatorname{Ran} f = [0, 4]$

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6. Rango de una función con valor absoluto

   Tema

   1. Funciones › 1.3 Rango o recorrido

   Dificultad

   Básico

   Método

   Propiedad |u| ≥ 0

   Halla el rango de

   $$f(x) = |x - 2| + 3$$

   Ver solución

   1. Para todo $x$ se cumple $|x - 2| \ge 0$, así que $f(x) \ge 3$.
   2. El valor mínimo $3$ se alcanza en $x = 2$.
   3. Todo $y \ge 3$ se alcanza: $|x - 2| = y - 3 \ge 0$ tiene solución, por ejemplo $x = 2 + (y - 3) = y - 1$.

   Resultado final: $\operatorname{Ran} f = [3, \infty)$

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7. Rango de una función exponencial transformada

   Tema

   1. Funciones › 1.3 Rango o recorrido

   Dificultad

   Básico

   Método

   Rango de e^x y propiedades de las desigualdades

   Halla el rango de

   $$f(x) = 3 - 2e^{x}$$

   Ver solución

   1. El rango de $e^{x}$ es $(0, \infty)$: $e^{x} > 0$ para todo $x$ y toma todos los valores positivos.
   2. Multiplicamos por $-2$ (se invierte la desigualdad): $-2e^{x} < 0$, y $-2e^{x}$ toma todos los valores negativos.
   3. Sumamos $3$: $3 - 2e^{x} < 3$, y la expresión toma todos los valores menores que $3$.
   4. El valor $3$ no se alcanza, porque requeriría $e^{x} = 0$.

   Resultado final: $\operatorname{Ran} f = (-\infty, 3)$

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8. Rango de una función logarítmica

   Tema

   1. Funciones › 1.3 Rango o recorrido

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Monotonía del logaritmo

   Halla el rango de

   $$f(x) = \ln\left(x^2 + 1\right)$$

   Ver solución

   1. Dominio: $x^2 + 1 > 0$ para todo $x$, así que $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}$.
   2. El argumento cumple $x^2 + 1 \ge 1$, y toma todos los valores de $[1, \infty)$.
   3. El logaritmo es creciente, así que $\ln(x^2 + 1) \ge \ln 1 = 0$.
   4. Todo $y \ge 0$ se alcanza: $x^2 + 1 = e^{y}$ tiene solución $x = \sqrt{e^{y} - 1}$, pues $e^{y} \ge 1$.

   Resultado final: $\operatorname{Ran} f = [0, \infty)$

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9. Rango de una función seno transformada

   Tema

   1. Funciones › 1.3 Rango o recorrido

   Dificultad

   Básico

   Método

   Acotación del seno

   Halla el rango de

   $$f(x) = 3\operatorname{sen}(2x) - 1$$

   Ver solución

   1. Para todo $x$: $-1 \le \operatorname{sen}(2x) \le 1$, y el seno toma todos los valores de $[-1, 1]$.
   2. Multiplicamos por $3$: $-3 \le 3\operatorname{sen}(2x) \le 3$.
   3. Restamos $1$: $-4 \le 3\operatorname{sen}(2x) - 1 \le 2$.
   4. Los extremos se alcanzan: $-4$ cuando $\operatorname{sen}(2x) = -1$ y $2$ cuando $\operatorname{sen}(2x) = 1$.

   Resultado final: $\operatorname{Ran} f = [-4, 2]$

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10. Rango mediante el discriminante

    Tema

    1. Funciones › 1.3 Rango o recorrido

    Dificultad

    Avanzado

    Método

    Despeje de x y condición del discriminante

    Halla el rango de

    $$f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$$

    Ver solución

    1. El dominio es $\mathbb{R}$. Un valor $y$ está en el rango si $y = \frac{x}{x^2 + 1}$ tiene solución real en $x$.
    2. Multiplicamos por $x^2 + 1 > 0$: $y x^2 + y = x$, es decir, $y x^2 - x + y = 0$.
    3. Caso $y = 0$: la ecuación es $-x = 0$, con solución $x = 0$. Así que $0$ está en el rango.
    4. Caso $y \neq 0$: es una ecuación cuadrática en $x$, con solución real si y solo si su discriminante es no negativo: $(-1)^2 - 4y \cdot y = 1 - 4y^2 \ge 0$, es decir, $y^2 \le \frac{1}{4}$, o sea $-\frac{1}{2} \le y \le \frac{1}{2}$.
    5. Juntando ambos casos: el rango es $\left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$. Los extremos se alcanzan en $x = 1$ y $x = -1$.

    Resultado final: $\operatorname{Ran} f = \left[-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right]$

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