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Ejercicios de Cálculo
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6.2 Integrales inmediatas

Contenidos de esta sección

  1. Integral inmediata de un polinomio

    Tema
    6. Integrales › 6.2 Integrales inmediatas
    Dificultad
    Básico
    Método
    Regla de la potencia para integrales

    Calcula la siguiente integral indefinida:

    ∫(6x2−4x+5) dx\int (6x^2 - 4x + 5)\,dx
    Ver solución
    1. La integral de una suma es la suma de las integrales, y las constantes salen de la integral. Integramos término a término.
    2. Regla de la potencia, ∫xn dx=xn+1n+1+C\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C para n≠−1n \neq -1: ∫6x2 dx=6⋅x33=2x3\int 6x^2\,dx = 6 \cdot \frac{x^3}{3} = 2x^3.
    3. ∫−4x dx=−4⋅x22=−2x2\int -4x\,dx = -4 \cdot \frac{x^2}{2} = -2x^2.
    4. ∫5 dx=5x\int 5\,dx = 5x.
    5. Sumamos y agregamos una sola constante de integración: 2x3−2x2+5x+C2x^3 - 2x^2 + 5x + C. Comprobación: al derivar se obtiene 6x2−4x+56x^2 - 4x + 5.

    Resultado final: ∫(6x2−4x+5) dx=2x3−2x2+5x+C\displaystyle \int (6x^2 - 4x + 5)\,dx = 2x^3 - 2x^2 + 5x + C

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  2. Integral de una constante y una potencia

    Tema
    6. Integrales › 6.2 Integrales inmediatas
    Dificultad
    Básico
    Método
    Reglas de la constante y de la potencia

    Calcula ∫(5−3x4)dx\displaystyle \int \left(5 - 3x^4\right)dx.

    Ver solución
    1. ∫5 dx=5x\int 5\,dx = 5x, porque (5x)′=5(5x)' = 5.
    2. Regla de la potencia, ∫xn dx=xn+1n+1\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n + 1} para n≠−1n \neq -1: ∫3x4 dx=3x55\int 3x^4\,dx = \frac{3x^5}{5}.
    3. Restamos y agregamos la constante: 5x−35x5+C5x - \frac{3}{5}x^5 + C.
    4. Comprobación: (5x−35x5)′=5−3x4\left(5x - \frac{3}{5}x^5\right)' = 5 - 3x^4.

    Resultado final: ∫(5−3x4)dx=5x−35x5+C\displaystyle \int \left(5 - 3x^4\right)dx = 5x - \frac{3}{5}x^5 + C

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  3. Integral con potencias negativas

    Tema
    6. Integrales › 6.2 Integrales inmediatas
    Dificultad
    Básico
    Método
    Reescritura con exponentes negativos y regla de la potencia

    Calcula ∫(2x3+1x2)dx\displaystyle \int \left(\frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^2}\right)dx.

    Ver solución
    1. Reescribimos: 2x−3+x−22x^{-3} + x^{-2}, para x≠0x \neq 0.
    2. ∫2x−3 dx=2⋅x−2−2=−x−2\int 2x^{-3}\,dx = 2 \cdot \frac{x^{-2}}{-2} = -x^{-2}.
    3. ∫x−2 dx=x−1−1=−x−1\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
    4. Resultado: −1x2−1x+C-\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} + C.

    Resultado final: ∫(2x3+1x2)dx=−1x2−1x+C\displaystyle \int \left(\frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^2}\right)dx = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x} + C

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  4. Integral con potencias fraccionarias

    Tema
    6. Integrales › 6.2 Integrales inmediatas
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Reescritura de radicales como potencias

    Calcula ∫(x+1x3)dx\displaystyle \int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)dx.

    Ver solución
    1. Reescribimos: x1/2+x−1/3x^{1/2} + x^{-1/3}, para x>0x > 0.
    2. ∫x1/2 dx=x3/23/2=23x3/2\int x^{1/2}\,dx = \frac{x^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}x^{3/2}.
    3. ∫x−1/3 dx=x2/32/3=32x2/3\int x^{-1/3}\,dx = \frac{x^{2/3}}{2/3} = \frac{3}{2}x^{2/3}.
    4. Resultado: 23x3/2+32x2/3+C\frac{2}{3}x^{3/2} + \frac{3}{2}x^{2/3} + C.

    Resultado final: ∫(x+1x3)dx=23xx+32x23+C\displaystyle \int \left(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\right)dx = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + \frac{3}{2}\sqrt[3]{x^2} + C

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  5. La integral de 1/x

    Tema
    6. Integrales › 6.2 Integrales inmediatas
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    División término a término y ∫dx/x = ln|x|

    Calcula ∫x2+3x dx\displaystyle \int \frac{x^2 + 3}{x}\,dx.

    Ver solución
    1. Dividimos término a término (para x≠0x \neq 0): x2+3x=x+3x\frac{x^2 + 3}{x} = x + \frac{3}{x}.
    2. ∫x dx=x22\int x\,dx = \frac{x^2}{2}.
    3. La regla de la potencia no sirve para n=−1n = -1; en su lugar: ∫dxx=ln⁡∣x∣\int \frac{dx}{x} = \ln|x|. Así, ∫3x dx=3ln⁡∣x∣\int \frac{3}{x}\,dx = 3\ln|x|.
    4. Resultado: x22+3ln⁡∣x∣+C\frac{x^2}{2} + 3\ln|x| + C.

    Resultado final: ∫x2+3x dx=x22+3ln⁡∣x∣+C\displaystyle \int \frac{x^2 + 3}{x}\,dx = \frac{x^2}{2} + 3\ln|x| + C

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  6. Integrales exponenciales inmediatas

    Tema
    6. Integrales › 6.2 Integrales inmediatas
    Dificultad
    Básico
    Método
    ∫eˣ dx = eˣ y ∫aˣ dx = aˣ/ln a

    Calcula ∫(ex+2x)dx\displaystyle \int \left(e^{x} + 2^{x}\right)dx.

    Ver solución
    1. ∫ex dx=ex\int e^{x}\,dx = e^{x}, porque (ex)′=ex(e^{x})' = e^{x}.
    2. Como (ax)′=axln⁡a(a^{x})' = a^{x}\ln a, se tiene ∫ax dx=axln⁡a\int a^{x}\,dx = \frac{a^{x}}{\ln a} para a>0a > 0, a≠1a \neq 1. Así, ∫2x dx=2xln⁡2\int 2^{x}\,dx = \frac{2^{x}}{\ln 2}.
    3. Resultado: ex+2xln⁡2+Ce^{x} + \frac{2^{x}}{\ln 2} + C.

    Resultado final: ∫(ex+2x)dx=ex+2xln⁡2+C\displaystyle \int \left(e^{x} + 2^{x}\right)dx = e^{x} + \frac{2^{x}}{\ln 2} + C

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  7. Integral que da un logaritmo tras desarrollar

    Tema
    6. Integrales › 6.2 Integrales inmediatas
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Desarrollo algebraico e integrales inmediatas

    Calcula ∫(x+1)2x dx\displaystyle \int \frac{(x + 1)^2}{x}\,dx.

    Ver solución
    1. Desarrollamos el numerador: (x+1)2=x2+2x+1(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1.
    2. Dividimos entre xx (para x≠0x \neq 0): x+2+1xx + 2 + \frac{1}{x}.
    3. Integramos término a término: x22+2x+ln⁡∣x∣\frac{x^2}{2} + 2x + \ln|x|.
    4. Resultado: x22+2x+ln⁡∣x∣+C\frac{x^2}{2} + 2x + \ln|x| + C.

    Resultado final: ∫(x+1)2x dx=x22+2x+ln⁡∣x∣+C\displaystyle \int \frac{(x + 1)^2}{x}\,dx = \frac{x^2}{2} + 2x + \ln|x| + C

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  8. Integrales trigonométricas básicas

    Tema
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    Dificultad
    Básico
    Método
    ∫sen x dx = −cos x y ∫sec² x dx = tan x

    Calcula ∫(3sen⁡x−2sec⁡2x)dx\displaystyle \int \left(3\operatorname{sen} x - 2\sec^2 x\right)dx.

    Ver solución
    1. Como (−cos⁡x)′=sen⁡x(-\cos x)' = \operatorname{sen} x: ∫3sen⁡x dx=−3cos⁡x\int 3\operatorname{sen} x\,dx = -3\cos x.
    2. Como (tan⁡x)′=sec⁡2x(\tan x)' = \sec^2 x: ∫2sec⁡2x dx=2tan⁡x\int 2\sec^2 x\,dx = 2\tan x.
    3. Resultado: −3cos⁡x−2tan⁡x+C-3\cos x - 2\tan x + C.
    4. Cuidado con el signo: la integral del seno es menos el coseno.

    Resultado final: ∫(3sen⁡x−2sec⁡2x)dx=−3cos⁡x−2tan⁡x+C\displaystyle \int \left(3\operatorname{sen} x - 2\sec^2 x\right)dx = -3\cos x - 2\tan x + C

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  9. Integrales que dan funciones trigonométricas inversas

    Tema
    6. Integrales › 6.2 Integrales inmediatas
    Dificultad
    Básico
    Método
    Fórmulas inmediatas del arcotangente y el arcoseno

    Calcula ∫(41+x2−31−x2)dx\displaystyle \int \left(\frac{4}{1 + x^2} - \frac{3}{\sqrt{1 - x^2}}\right)dx, para ∣x∣<1|x| < 1.

    Ver solución
    1. Fórmulas inmediatas: ∫dx1+x2=arctan⁡x\int \frac{dx}{1 + x^2} = \arctan x y ∫dx1−x2=arcsen⁡x\int \frac{dx}{\sqrt{1 - x^2}} = \operatorname{arcsen} x.
    2. Por linealidad: 4arctan⁡x−3arcsen⁡x+C4\arctan x - 3\operatorname{arcsen} x + C.
    3. Comprobación: la derivada es 41+x2−31−x2\frac{4}{1 + x^2} - \frac{3}{\sqrt{1 - x^2}}.

    Resultado final: 4arctan⁡x−3arcsen⁡x+C4\arctan x - 3\operatorname{arcsen} x + C

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  10. Integral de tan² x con una identidad

    Tema
    6. Integrales › 6.2 Integrales inmediatas
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Identidad tan² x = sec² x − 1

    Calcula ∫tan⁡2x dx\displaystyle \int \tan^2 x\,dx.

    Ver solución
    1. tan⁡2x\tan^2 x no aparece en la tabla, pero la identidad pitagórica 1+tan⁡2x=sec⁡2x1 + \tan^2 x = \sec^2 x da tan⁡2x=sec⁡2x−1\tan^2 x = \sec^2 x - 1.
    2. ∫(sec⁡2x−1) dx=tan⁡x−x+C\int(\sec^2 x - 1)\,dx = \tan x - x + C.
    3. Comprobación: (tan⁡x−x)′=sec⁡2x−1=tan⁡2x(\tan x - x)' = \sec^2 x - 1 = \tan^2 x.

    Resultado final: ∫tan⁡2x dx=tan⁡x−x+C\displaystyle \int \tan^2 x\,dx = \tan x - x + C

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