4.5 Derivadas exponenciales y logarítmicas

1. Derivada de una exponencial por un logaritmo

   Tema

   4. Derivadas › 4.5 Derivadas exponenciales y logarítmicas

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Regla del producto y regla de la cadena

   Deriva la siguiente función, definida para $x > 0$:

   $$f(x) = e^{2x} \ln x$$

   Ver solución

   1. $f$ es el producto de $u(x) = e^{2x}$ y $v(x) = \ln x$. Usamos la regla del producto: $(uv)' = u'v + uv'$.
   2. Derivamos $u$ con la regla de la cadena: $\frac{d}{dx} e^{2x} = e^{2x} \cdot 2 = 2e^{2x}$.
   3. Derivamos $v$: $\frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x}$, para $x > 0$.
   4. Aplicamos la regla: $f'(x) = 2e^{2x} \ln x + e^{2x} \cdot \frac{1}{x}$.

   Resultado final: $f'(x) = 2e^{2x} \ln x + \dfrac{e^{2x}}{x}$

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2. Derivadas básicas de eˣ y ln x

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Derivadas de e^x y ln x

   Deriva $f(x) = 5e^{x} - 3\ln x$, para $x > 0$.

   Ver solución

   1. Derivadas básicas: $\frac{d}{dx}e^{x} = e^{x}$ y $\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$ (para $x > 0$).
   2. Por la regla del múltiplo constante y de la resta: $f'(x) = 5e^{x} - 3 \cdot \frac{1}{x}$.

   Resultado final: $f'(x) = 5e^{x} - \dfrac{3}{x}$

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3. Derivada de una exponencial de base a

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Fórmula (a^x)' = a^x ln a y regla del producto

   Deriva $f(x) = 3^{x}$ y $g(x) = x \cdot 2^{x}$.

   Ver solución

   1. Para $a > 0$: $a^{x} = e^{x\ln a}$, y por la cadena, $\frac{d}{dx}a^{x} = e^{x\ln a}\ln a = a^{x}\ln a$.
   2. Entonces $f'(x) = 3^{x}\ln 3$.
   3. Para $g$ usamos la regla del producto: $g'(x) = 1 \cdot 2^{x} + x \cdot 2^{x}\ln 2$.
   4. Factorizando: $g'(x) = 2^{x}(1 + x\ln 2)$.

   Resultado final: $f'(x) = 3^{x}\ln 3$ y $g'(x) = 2^{x}(1 + x\ln 2)$

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4. Derivada de e elevado a una función

   Tema

   4. Derivadas › 4.5 Derivadas exponenciales y logarítmicas

   Dificultad

   Básico

   Método

   Regla de la cadena: (e^u)' = e^u u'

   Deriva $f(x) = e^{x^2 - 3x}$.

   Ver solución

   1. Con $u = x^2 - 3x$, la regla de la cadena da $\frac{d}{dx}e^{u} = e^{u} \cdot u'$.
   2. $u' = 2x - 3$.
   3. Entonces $f'(x) = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}$.

   Resultado final: $f'(x) = (2x - 3)e^{x^2 - 3x}$

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5. Derivada de a elevado a una función

   Tema

   4. Derivadas › 4.5 Derivadas exponenciales y logarítmicas

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Regla de la cadena: (a^u)' = a^u ln a · u'

   Deriva $f(x) = 10^{x^2 + 1}$.

   Ver solución

   1. Para $a > 0$ y $u$ derivable: $\frac{d}{dx}a^{u} = a^{u}\ln a \cdot u'$.
   2. Aquí $a = 10$ y $u = x^2 + 1$, con $u' = 2x$.
   3. Entonces $f'(x) = 10^{x^2 + 1}\ln 10 \cdot 2x = 2x\ln 10 \cdot 10^{x^2 + 1}$.

   Resultado final: $f'(x) = 2x\ln 10 \cdot 10^{x^2 + 1}$

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6. Derivada de ln|x|

   Tema

   4. Derivadas › 4.5 Derivadas exponenciales y logarítmicas

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Análisis por casos y regla de la cadena

   Demuestra que $\dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac{1}{x}$ para todo $x \neq 0$.

   Ver solución

   1. Si $x > 0$: $|x| = x$, así que $\frac{d}{dx}\ln|x| = \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$.
   2. Si $x < 0$: $|x| = -x > 0$, así que $\ln|x| = \ln(-x)$.
   3. Por la cadena: $\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{-x} \cdot (-1) = \frac{1}{x}$.
   4. En ambos casos la derivada es $\frac{1}{x}$. Por eso $\ln|x|$ es la antiderivada de $\frac{1}{x}$ en todo su dominio.

   Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\ln|x| = \dfrac{1}{x}$ para todo $x \neq 0$.

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7. Derivada del logaritmo de una función

   Tema

   4. Derivadas › 4.5 Derivadas exponenciales y logarítmicas

   Dificultad

   Básico

   Método

   Regla de la cadena: (ln u)' = u'/u

   Deriva $f(x) = \ln\left(x^2 + 4x + 5\right)$.

   Ver solución

   1. El argumento cumple $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 > 0$ para todo $x$, así que $f$ está definida en $\mathbb{R}$.
   2. Regla de la cadena: $\frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}$.
   3. $u = x^2 + 4x + 5$ y $u' = 2x + 4$.
   4. Entonces $f'(x) = \frac{2x + 4}{x^2 + 4x + 5}$.

   Resultado final: $f'(x) = \dfrac{2x + 4}{x^2 + 4x + 5}$

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8. Derivada de un logaritmo de base 2

   Tema

   4. Derivadas › 4.5 Derivadas exponenciales y logarítmicas

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Cambio de base y regla de la cadena

   Deriva $f(x) = \log_2(3x + 1)$, para $x > -\dfrac{1}{3}$.

   Ver solución

   1. Por el cambio de base: $\log_2 u = \frac{\ln u}{\ln 2}$, donde $\ln 2$ es una constante.
   2. $f(x) = \frac{1}{\ln 2}\ln(3x + 1)$.
   3. Por la cadena: $\frac{d}{dx}\ln(3x + 1) = \frac{3}{3x + 1}$.
   4. Entonces $f'(x) = \frac{3}{(3x + 1)\ln 2}$.

   Resultado final: $f'(x) = \dfrac{3}{(3x + 1)\ln 2}$

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9. Derivación logarítmica de un producto y cociente

   Tema

   4. Derivadas › 4.5 Derivadas exponenciales y logarítmicas

   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Derivación logarítmica

   Deriva, para $x > 1$:

   $$f(x) = \frac{(x^2 + 1)^3\sqrt{x - 1}}{(x + 2)^4}$$

   Ver solución

   1. Para $x > 1$ todos los factores son positivos, así que tomamos logaritmo: $\ln f(x) = 3\ln(x^2 + 1) + \frac{1}{2}\ln(x - 1) - 4\ln(x + 2)$.
   2. Derivamos ambos lados (a la izquierda, por la cadena): $\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{6x}{x^2 + 1} + \frac{1}{2(x - 1)} - \frac{4}{x + 2}$.
   3. Despejamos multiplicando por $f(x)$.
   4. La derivación logarítmica convierte productos, cocientes y potencias en sumas, lo que evita aplicar varias veces las reglas del producto y del cociente.

   Resultado final: $f'(x) = \dfrac{(x^2 + 1)^3\sqrt{x - 1}}{(x + 2)^4}\left[\dfrac{6x}{x^2 + 1} + \dfrac{1}{2(x - 1)} - \dfrac{4}{x + 2}\right]$

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10. Derivada de x elevado a x

    Tema

    4. Derivadas › 4.5 Derivadas exponenciales y logarítmicas

    Dificultad

    Intermedio

    Método

    Derivación logarítmica para base y exponente variables

    Deriva $f(x) = x^{x}$, para $x > 0$.

    Ver solución

    1. Ni la regla de la potencia (exponente fijo) ni la de la exponencial (base fija) sirven, porque varían la base y el exponente.
    2. Tomamos logaritmo: $\ln f(x) = x\ln x$.
    3. Derivamos ambos lados: $\frac{f'(x)}{f(x)} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
    4. Despejamos: $f'(x) = x^{x}(\ln x + 1)$.

    Resultado final: $f'(x) = x^{x}(\ln x + 1)$

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