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Ejercicios de Cálculo
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4.3 Reglas básicas de derivación

Contenidos de esta sección

  1. Derivada de un polinomio con la regla de la potencia

    Tema
    4. Derivadas › 4.3 Reglas básicas de derivación
    Dificultad
    Básico
    Método
    Regla de la potencia

    Deriva la siguiente función:

    f(x)=4x5−3x2+7x−2f(x) = 4x^5 - 3x^2 + 7x - 2
    Ver solución
    1. La derivada de una suma es la suma de las derivadas, y las constantes que multiplican salen de la derivada. Derivamos término a término.
    2. Regla de la potencia, ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}: ddx(4x5)=4⋅5x4=20x4\frac{d}{dx}\left(4x^5\right) = 4 \cdot 5x^4 = 20x^4.
    3. ddx(−3x2)=−3⋅2x=−6x\frac{d}{dx}\left(-3x^2\right) = -3 \cdot 2x = -6x.
    4. ddx(7x)=7\frac{d}{dx}(7x) = 7, porque ddxx=1\frac{d}{dx} x = 1.
    5. La derivada de una constante es cero: ddx(−2)=0\frac{d}{dx}(-2) = 0.
    6. Sumamos los resultados: f′(x)=20x4−6x+7f'(x) = 20x^4 - 6x + 7.

    Resultado final: f′(x)=20x4−6x+7f'(x) = 20x^4 - 6x + 7

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  2. Regla de la constante y del múltiplo constante

    Tema
    4. Derivadas › 4.3 Reglas básicas de derivación
    Dificultad
    Básico
    Método
    Reglas de la constante, del múltiplo constante y de la potencia

    Deriva f(x)=π2+4x3f(x) = \pi^2 + 4x^3.

    Ver solución
    1. π2\pi^2 es una constante (no depende de xx), así que su derivada es 00.
    2. Por la regla del múltiplo constante: ddx(4x3)=4⋅ddx(x3)\frac{d}{dx}\left(4x^3\right) = 4 \cdot \frac{d}{dx}\left(x^3\right).
    3. Por la regla de la potencia: ddx(x3)=3x2\frac{d}{dx}\left(x^3\right) = 3x^2.
    4. Sumamos: f′(x)=0+4⋅3x2=12x2f'(x) = 0 + 4 \cdot 3x^2 = 12x^2.

    Resultado final: f′(x)=12x2f'(x) = 12x^2

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  3. Derivada con potencias negativas

    Tema
    4. Derivadas › 4.3 Reglas básicas de derivación
    Dificultad
    Básico
    Método
    Reescritura con exponentes negativos y regla de la potencia

    Deriva

    f(x)=3x2−2xf(x) = \frac{3}{x^2} - \frac{2}{x}
    Ver solución
    1. Reescribimos con exponentes negativos: f(x)=3x−2−2x−1f(x) = 3x^{-2} - 2x^{-1}, para x≠0x \neq 0.
    2. La regla de la potencia vale para exponentes enteros negativos: ddxxn=nxn−1\frac{d}{dx}x^{n} = n x^{n-1}.
    3. ddx(3x−2)=3(−2)x−3=−6x−3\frac{d}{dx}\left(3x^{-2}\right) = 3(-2)x^{-3} = -6x^{-3} y ddx(−2x−1)=−2(−1)x−2=2x−2\frac{d}{dx}\left(-2x^{-1}\right) = -2(-1)x^{-2} = 2x^{-2}.
    4. Volvemos a la forma de fracción: f′(x)=−6x3+2x2f'(x) = -\frac{6}{x^3} + \frac{2}{x^2}.

    Resultado final: f′(x)=−6x3+2x2f'(x) = -\dfrac{6}{x^3} + \dfrac{2}{x^2}

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  4. Derivada con potencias fraccionarias

    Tema
    4. Derivadas › 4.3 Reglas básicas de derivación
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Reescritura de radicales como potencias y regla de la potencia

    Deriva

    f(x)=4x−6x23f(x) = 4\sqrt{x} - 6\sqrt[3]{x^2}
    Ver solución
    1. Reescribimos los radicales como potencias: f(x)=4x1/2−6x2/3f(x) = 4x^{1/2} - 6x^{2/3}, para x>0x > 0.
    2. ddx(4x1/2)=4⋅12x−1/2=2x−1/2\frac{d}{dx}\left(4x^{1/2}\right) = 4 \cdot \frac{1}{2}x^{-1/2} = 2x^{-1/2}.
    3. ddx(6x2/3)=6⋅23x−1/3=4x−1/3\frac{d}{dx}\left(6x^{2/3}\right) = 6 \cdot \frac{2}{3}x^{-1/3} = 4x^{-1/3}.
    4. Entonces f′(x)=2x−1/2−4x−1/3=2x−4x3f'(x) = 2x^{-1/2} - 4x^{-1/3} = \frac{2}{\sqrt{x}} - \frac{4}{\sqrt[3]{x}}.

    Resultado final: f′(x)=2x−4x3f'(x) = \dfrac{2}{\sqrt{x}} - \dfrac{4}{\sqrt[3]{x}}

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  5. Derivar una fracción separándola en términos

    Tema
    4. Derivadas › 4.3 Reglas básicas de derivación
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    División término a término y regla de la potencia

    Deriva, sin usar la regla del cociente:

    f(x)=x3−2x+5xf(x) = \frac{x^3 - 2x + 5}{x}
    Ver solución
    1. Como el denominador es un monomio, dividimos cada término entre xx (para x≠0x \neq 0): f(x)=x2−2+5x−1f(x) = x^2 - 2 + 5x^{-1}.
    2. Derivamos término a término: ddxx2=2x\frac{d}{dx}x^2 = 2x, ddx(−2)=0\frac{d}{dx}(-2) = 0 y ddx(5x−1)=−5x−2\frac{d}{dx}\left(5x^{-1}\right) = -5x^{-2}.
    3. Entonces f′(x)=2x−5x2f'(x) = 2x - \frac{5}{x^2}.

    Resultado final: f′(x)=2x−5x2f'(x) = 2x - \dfrac{5}{x^2}

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  6. Derivar un producto desarrollándolo primero

    Tema
    4. Derivadas › 4.3 Reglas básicas de derivación
    Dificultad
    Básico
    Método
    Desarrollo algebraico y reglas de suma y potencia

    Deriva f(x)=(2x−1)(x2+3)f(x) = (2x - 1)(x^2 + 3) desarrollando primero el producto.

    Ver solución
    1. Desarrollamos: f(x)=2x3+6x−x2−3=2x3−x2+6x−3f(x) = 2x^3 + 6x - x^2 - 3 = 2x^3 - x^2 + 6x - 3.
    2. Derivamos término a término con la regla de la potencia: ddx(2x3)=6x2\frac{d}{dx}(2x^3) = 6x^2, ddx(−x2)=−2x\frac{d}{dx}(-x^2) = -2x, ddx(6x)=6\frac{d}{dx}(6x) = 6 y la derivada de −3-3 es 00.
    3. Entonces f′(x)=6x2−2x+6f'(x) = 6x^2 - 2x + 6.
    4. La derivada de un producto no es el producto de las derivadas: (2)(2x)=4x(2)(2x) = 4x sería incorrecto. Para derivar sin desarrollar se usa la regla del producto (sección 4.4).

    Resultado final: f′(x)=6x2−2x+6f'(x) = 6x^2 - 2x + 6

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  7. Valor de la derivada en un punto

    Tema
    4. Derivadas › 4.3 Reglas básicas de derivación
    Dificultad
    Básico
    Método
    Reglas básicas y evaluación

    Sea f(x)=x4−3x2+2f(x) = x^4 - 3x^2 + 2. Calcula f′(−1)f'(-1).

    Ver solución
    1. Derivamos con las reglas de suma y potencia: f′(x)=4x3−6xf'(x) = 4x^3 - 6x.
    2. Evaluamos en x=−1x = -1: f′(−1)=4(−1)3−6(−1)=−4+6=2f'(-1) = 4(-1)^3 - 6(-1) = -4 + 6 = 2.
    3. Primero se deriva y después se evalúa: evaluar primero daría la constante f(−1)f(-1), cuya derivada es 00.

    Resultado final: f′(−1)=2f'(-1) = 2

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  8. Hallar un coeficiente a partir de la derivada

    Tema
    4. Derivadas › 4.3 Reglas básicas de derivación
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Reglas básicas y ecuación en el parámetro

    Halla aa para que f(x)=ax3+2xf(x) = ax^3 + 2x cumpla f′(1)=11f'(1) = 11.

    Ver solución
    1. Derivamos: f′(x)=3ax2+2f'(x) = 3ax^2 + 2.
    2. Evaluamos en x=1x = 1: f′(1)=3a+2f'(1) = 3a + 2.
    3. Igualamos: 3a+2=113a + 2 = 11, de donde a=3a = 3.
    4. Comprobación: con a=3a = 3, f′(x)=9x2+2f'(x) = 9x^2 + 2 y f′(1)=11f'(1) = 11.

    Resultado final: a=3a = 3

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  9. Fracción con raíz en el denominador

    Tema
    4. Derivadas › 4.3 Reglas básicas de derivación
    Dificultad
    Intermedio
    Método
    Reescritura con exponentes fraccionarios

    Deriva

    f(x)=x2+1xf(x) = \frac{x^2 + 1}{\sqrt{x}}
    Ver solución
    1. Dividimos cada término entre x=x1/2\sqrt{x} = x^{1/2} (para x>0x > 0): f(x)=x2−1/2+x−1/2=x3/2+x−1/2f(x) = x^{2 - 1/2} + x^{-1/2} = x^{3/2} + x^{-1/2}.
    2. ddxx3/2=32x1/2\frac{d}{dx}x^{3/2} = \frac{3}{2}x^{1/2} y ddxx−1/2=−12x−3/2\frac{d}{dx}x^{-1/2} = -\frac{1}{2}x^{-3/2}.
    3. Entonces f′(x)=32x−12xxf'(x) = \frac{3}{2}\sqrt{x} - \frac{1}{2x\sqrt{x}}.
    4. Con denominador común 2xx2x\sqrt{x}: f′(x)=3x2−12xxf'(x) = \frac{3x^2 - 1}{2x\sqrt{x}}.

    Resultado final: f′(x)=32x−12xx=3x2−12xxf'(x) = \dfrac{3}{2}\sqrt{x} - \dfrac{1}{2x\sqrt{x}} = \dfrac{3x^2 - 1}{2x\sqrt{x}}

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  10. Simplificar antes de derivar

    Tema
    4. Derivadas › 4.3 Reglas básicas de derivación
    Dificultad
    Avanzado
    Método
    Desarrollo algebraico y potencias negativas y fraccionarias

    Deriva

    f(x)=(x+1)2xf(x) = \frac{\left(\sqrt{x} + 1\right)^2}{x}
    Ver solución
    1. Desarrollamos el cuadrado: (x+1)2=x+2x+1\left(\sqrt{x} + 1\right)^2 = x + 2\sqrt{x} + 1, para x>0x > 0.
    2. Dividimos entre xx: f(x)=1+2x−1/2+x−1f(x) = 1 + 2x^{-1/2} + x^{-1}.
    3. Derivamos término a término: 0+2(−12)x−3/2+(−1)x−2=−x−3/2−x−20 + 2\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-3/2} + (-1)x^{-2} = -x^{-3/2} - x^{-2}.
    4. En forma de fracciones: f′(x)=−1xx−1x2f'(x) = -\frac{1}{x\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}.

    Resultado final: f′(x)=−1xx−1x2f'(x) = -\dfrac{1}{x\sqrt{x}} - \dfrac{1}{x^2}

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