4.4 Reglas de producto, cociente y cadena

1. Regla del producto

   Tema

   4. Derivadas › 4.4 Reglas de producto, cociente y cadena

   Dificultad

   Básico

   Método

   Regla del producto

   Deriva la siguiente función:

   $$f(x) = (x^2 + 1)(3x - 2)$$

   Ver solución

   1. $f$ es el producto de $u(x) = x^2 + 1$ y $v(x) = 3x - 2$. Usamos la regla del producto: $(uv)' = u'v + uv'$.
   2. Derivamos cada factor con la regla de la potencia: $u'(x) = 2x$ y $v'(x) = 3$.
   3. Aplicamos la regla: $f'(x) = 2x(3x - 2) + (x^2 + 1) \cdot 3$.
   4. Desarrollamos: $f'(x) = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3$.
   5. Agrupamos términos semejantes: $f'(x) = 9x^2 - 4x + 3$.

   Resultado final: $f'(x) = 9x^2 - 4x + 3$

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2. Regla del cociente

   Tema

   4. Derivadas › 4.4 Reglas de producto, cociente y cadena

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Regla del cociente

   Deriva la siguiente función:

   $$f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}$$

   Ver solución

   1. $f$ es el cociente de $u(x) = 2x + 1$ y $v(x) = x - 3$. Usamos la regla del cociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
   2. Derivamos: $u'(x) = 2$ y $v'(x) = 1$.
   3. Sustituimos en la regla: $f'(x) = \frac{2(x - 3) - (2x + 1) \cdot 1}{(x - 3)^2}$.
   4. Simplificamos el numerador: $2x - 6 - 2x - 1 = -7$.
   5. Por lo tanto $f'(x) = \frac{-7}{(x - 3)^2}$, válida para $x \neq 3$.

   Resultado final: $f'(x) = \dfrac{-7}{(x - 3)^2}$

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3. Regla de la cadena con una potencia

   Tema

   4. Derivadas › 4.4 Reglas de producto, cociente y cadena

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Regla de la cadena

   Deriva la siguiente función:

   $$f(x) = (3x^2 - 1)^4$$

   Ver solución

   1. $f$ es una composición: la función externa es $g(u) = u^4$ y la interna es $u(x) = 3x^2 - 1$. Usamos la regla de la cadena: $f'(x) = g'(u(x)) \cdot u'(x)$.
   2. Derivada de la externa: $g'(u) = 4u^3$.
   3. Derivada de la interna: $u'(x) = 6x$.
   4. Multiplicamos: $f'(x) = 4(3x^2 - 1)^3 \cdot 6x$.
   5. Ordenamos la constante: $f'(x) = 24x(3x^2 - 1)^3$.

   Resultado final: $f'(x) = 24x(3x^2 - 1)^3$

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4. Producto combinado con la regla de la cadena

   Tema

   4. Derivadas › 4.4 Reglas de producto, cociente y cadena

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Regla del producto y regla de la cadena

   Deriva y factoriza:

   $$f(x) = x^2(3x + 1)^4$$

   Ver solución

   1. Es un producto $u \cdot v$ con $u = x^2$ y $v = (3x + 1)^4$. Regla del producto: $f' = u'v + uv'$.
   2. $u' = 2x$. Para $v'$ usamos la regla de la cadena: $v' = 4(3x + 1)^3 \cdot 3 = 12(3x + 1)^3$.
   3. $f'(x) = 2x(3x + 1)^4 + x^2 \cdot 12(3x + 1)^3$.
   4. Factorizamos $2x(3x + 1)^3$: $f'(x) = 2x(3x + 1)^3\left[(3x + 1) + 6x\right] = 2x(3x + 1)^3(9x + 1)$.

   Resultado final: $f'(x) = 2x(3x + 1)^3(9x + 1)$

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5. Cociente combinado con la regla de la cadena

   Tema

   4. Derivadas › 4.4 Reglas de producto, cociente y cadena

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Regla del cociente y regla de la cadena

   Deriva y simplifica:

   $$f(x) = \frac{(x - 1)^2}{x + 1}$$

   Ver solución

   1. Regla del cociente con $u = (x - 1)^2$ y $v = x + 1$: $f' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
   2. Por la cadena, $u' = 2(x - 1)$; además $v' = 1$.
   3. $f'(x) = \frac{2(x - 1)(x + 1) - (x - 1)^2}{(x + 1)^2}$.
   4. Factorizamos $(x - 1)$ en el numerador: $(x - 1)\left[2(x + 1) - (x - 1)\right] = (x - 1)(x + 3)$.

   Resultado final: $f'(x) = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{(x + 1)^2}$

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6. Potencia compuesta con exponente negativo

   Tema

   4. Derivadas › 4.4 Reglas de producto, cociente y cadena

   Dificultad

   Básico

   Método

   Regla de la cadena para potencias

   Deriva

   $$f(x) = \frac{1}{(x^3 - 2x)^2}$$

   Ver solución

   1. Reescribimos: $f(x) = (x^3 - 2x)^{-2}$.
   2. Regla de la cadena para potencias: $\frac{d}{dx}[u^n] = n u^{n-1} u'$, con $u = x^3 - 2x$ y $n = -2$.
   3. $u' = 3x^2 - 2$, así que $f'(x) = -2(x^3 - 2x)^{-3}(3x^2 - 2)$.
   4. En forma de fracción: $f'(x) = -\frac{2(3x^2 - 2)}{(x^3 - 2x)^3}$.

   Resultado final: $f'(x) = -\dfrac{2(3x^2 - 2)}{(x^3 - 2x)^3}$

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7. Derivada de un radical compuesto

   Tema

   4. Derivadas › 4.4 Reglas de producto, cociente y cadena

   Dificultad

   Básico

   Método

   Regla de la cadena con la raíz cuadrada

   Deriva $f(x) = \sqrt{x^2 + 5x}$.

   Ver solución

   1. Escribimos $f(x) = (x^2 + 5x)^{1/2}$, con $u = x^2 + 5x$.
   2. Regla de la cadena: $f'(x) = \frac{1}{2}u^{-1/2} \cdot u'$.
   3. $u' = 2x + 5$.
   4. Entonces $f'(x) = \frac{2x + 5}{2\sqrt{x^2 + 5x}}$, válida donde $x^2 + 5x > 0$.

   Resultado final: $f'(x) = \dfrac{2x + 5}{2\sqrt{x^2 + 5x}}$

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8. Regla de la cadena con funciones anidadas

   Tema

   4. Derivadas › 4.4 Reglas de producto, cociente y cadena

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Regla de la cadena aplicada dos veces

   Deriva

   $$f(x) = \left[(2x + 1)^2 + 1\right]^3$$

   Ver solución

   1. Hay tres capas: la exterior es $w^3$, la intermedia es $w = v^2 + 1$ y la interior es $v = 2x + 1$.
   2. Derivada de la capa exterior: $3\left[(2x + 1)^2 + 1\right]^2$.
   3. Por la cadena, se multiplica por la derivada de la capa intermedia, $2(2x + 1)$, y por la derivada de la interior, $2$.
   4. $f'(x) = 3\left[(2x + 1)^2 + 1\right]^2 \cdot 2(2x + 1) \cdot 2 = 12(2x + 1)\left[(2x + 1)^2 + 1\right]^2$.

   Resultado final: $f'(x) = 12(2x + 1)\left[(2x + 1)^2 + 1\right]^2$

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9. Derivada de x por una raíz compuesta

   Tema

   4. Derivadas › 4.4 Reglas de producto, cociente y cadena

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Regla del producto, regla de la cadena y denominador común

   Deriva y simplifica $f(x) = x\sqrt{1 - x^2}$, para $-1 < x < 1$.

   Ver solución

   1. Regla del producto con $u = x$ y $v = \sqrt{1 - x^2}$: $f' = u'v + uv'$.
   2. $u' = 1$. Por la cadena: $v' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}$.
   3. $f'(x) = \sqrt{1 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$.
   4. Con denominador común $\sqrt{1 - x^2}$: $f'(x) = \frac{(1 - x^2) - x^2}{\sqrt{1 - x^2}} = \frac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$.

   Resultado final: $f'(x) = \dfrac{1 - 2x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$

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10. Derivada de la raíz de un cociente

    Tema

    4. Derivadas › 4.4 Reglas de producto, cociente y cadena

    Dificultad

    Avanzado

    Método

    Regla de la cadena y regla del cociente

    Deriva y simplifica, para $x > 1$:

    $$f(x) = \sqrt{\frac{x - 1}{x + 1}}$$

    Ver solución

    1. Sea $u = \frac{x - 1}{x + 1}$, positiva para $x > 1$. Por la cadena: $f'(x) = \frac{u'}{2\sqrt{u}}$.
    2. Regla del cociente: $u' = \frac{(x + 1) - (x - 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}$.
    3. Entonces $f'(x) = \frac{2}{(x + 1)^2} \cdot \frac{1}{2}\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} = \frac{1}{(x + 1)^2}\sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}$.
    4. Como $x + 1 > 0$: $\frac{\sqrt{x + 1}}{(x + 1)^2} = \frac{1}{(x + 1)^{3/2}}$, así que $f'(x) = \frac{1}{(x + 1)^{3/2}\sqrt{x - 1}}$.

    Resultado final: $f'(x) = \dfrac{1}{(x + 1)^{3/2}\sqrt{x - 1}}$, para $x > 1$.

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