1.2 Dominio de funciones

1. Dominio de una función racional

   Tema

   1. Funciones › 1.2 Dominio de funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Exclusión de los ceros del denominador

   Halla el dominio de

   $$f(x) = \frac{2x + 1}{x^2 - 5x + 6}$$

   Ver solución

   1. Una función racional está definida para todo real excepto donde el denominador se anula.
   2. Resolvemos $x^2 - 5x + 6 = 0$: factorizando, $(x - 2)(x - 3) = 0$, de donde $x = 2$ o $x = 3$.
   3. El numerador no impone ninguna restricción.
   4. Excluimos $2$ y $3$ de $\mathbb{R}$.

   Resultado final: $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{2, 3\}$

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2. Dominio de una raíz cuadrada de una expresión lineal

   Tema

   1. Funciones › 1.2 Dominio de funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Radicando no negativo en raíces de índice par

   Halla el dominio de

   $$f(x) = \sqrt{6 - 2x}$$

   Ver solución

   1. Una raíz de índice par solo está definida en los reales si su radicando es mayor o igual que cero.
   2. Planteamos $6 - 2x \ge 0$, es decir, $-2x \ge -6$.
   3. Al dividir entre $-2$ (negativo) se invierte el sentido de la desigualdad: $x \le 3$.

   Resultado final: $\operatorname{Dom} f = (-\infty, 3]$

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3. Dominio de la raíz cuadrada de una cuadrática

   Tema

   1. Funciones › 1.2 Dominio de funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Inecuación cuadrática por puntos críticos

   Halla el dominio de

   $$f(x) = \sqrt{x^2 - x - 12}$$

   Ver solución

   1. El radicando debe cumplir $x^2 - x - 12 \ge 0$.
   2. Factorizamos: $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$. Los puntos críticos son $x = -3$ y $x = 4$.
   3. Estudiamos el signo del producto: si $x < -3$, ambos factores son negativos y el producto es positivo; si $-3 < x < 4$, el producto es negativo; si $x > 4$, ambos son positivos y el producto es positivo.
   4. Incluimos los puntos críticos, porque ahí el radicando vale $0$ y la raíz está definida.

   Resultado final: $\operatorname{Dom} f = (-\infty, -3] \cup [4, \infty)$

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4. Dominio con una raíz de índice impar

   Tema

   1. Funciones › 1.2 Dominio de funciones

   Dificultad

   Básico

   Método

   Raíz impar definida en todo ℝ y denominador no nulo

   Halla el dominio de

   $$f(x) = \frac{\sqrt[3]{x - 5}}{x^2 + 1}$$

   Ver solución

   1. La raíz cúbica (índice impar) está definida para todo número real, incluidos los negativos: $\sqrt[3]{x - 5}$ no impone restricción.
   2. El denominador $x^2 + 1$ cumple $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ para todo $x$, así que nunca se anula.
   3. No hay ninguna restricción.

   Resultado final: $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R}$

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5. Dominio con una raíz en el denominador

   Tema

   1. Funciones › 1.2 Dominio de funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Radicando estrictamente positivo

   Halla el dominio de

   $$f(x) = \frac{x + 2}{\sqrt{9 - x^2}}$$

   Ver solución

   1. La raíz exige $9 - x^2 \ge 0$, y además, por estar en el denominador, no puede valer $0$. La condición es $9 - x^2 > 0$.
   2. Resolvemos: $x^2 < 9$, es decir, $|x| < 3$, o sea $-3 < x < 3$.
   3. El numerador no impone restricciones.
   4. Los extremos $\pm 3$ se excluyen porque anulan el denominador.

   Resultado final: $\operatorname{Dom} f = (-3, 3)$

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6. Dominio de una función logarítmica

   Tema

   1. Funciones › 1.2 Dominio de funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Argumento del logaritmo estrictamente positivo

   Halla el dominio de

   $$f(x) = \ln\left(x^2 - 4x\right)$$

   Ver solución

   1. El logaritmo solo está definido para argumentos estrictamente positivos: $x^2 - 4x > 0$.
   2. Factorizamos: $x(x - 4) > 0$. Los puntos críticos son $x = 0$ y $x = 4$.
   3. Signo del producto: si $x < 0$, ambos factores son negativos y el producto es positivo; si $0 < x < 4$, el producto es negativo; si $x > 4$, es positivo.
   4. Los puntos críticos se excluyen, porque $\ln 0$ no está definido.

   Resultado final: $\operatorname{Dom} f = (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$

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7. Dominio de una función compuesta

   Tema

   1. Funciones › 1.2 Dominio de funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Condición x ∈ Dom g y g(x) ∈ Dom f

   Sean $f(x) = \sqrt{x}$ y $g(x) = \dfrac{1}{x - 2}$. Halla el dominio de $f \circ g$.

   Ver solución

   1. $\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom} g : g(x) \in \operatorname{Dom} f\}$.
   2. $\operatorname{Dom} g = \mathbb{R} \setminus \{2\}$ y $\operatorname{Dom} f = [0, \infty)$.
   3. Necesitamos $g(x) \ge 0$: $\frac{1}{x - 2} \ge 0$. Una fracción con numerador $1 > 0$ es positiva cuando el denominador es positivo, y nunca vale $0$. Entonces $x - 2 > 0$, es decir, $x > 2$.
   4. Además $x \neq 2$, que ya está incluido.

   Resultado final: $\operatorname{Dom}(f \circ g) = (2, \infty)$, y $(f \circ g)(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x - 2}}$

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8. Dominio de una función tangente

   Tema

   1. Funciones › 1.2 Dominio de funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Exclusión de los ceros del coseno

   Halla el dominio de

   $$f(x) = \tan(2x)$$

   Ver solución

   1. $\tan u = \frac{\operatorname{sen} u}{\cos u}$ está definida cuando $\cos u \neq 0$, es decir, cuando $u \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ con $k \in \mathbb{Z}$.
   2. Aquí $u = 2x$, así que se exige $2x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$.
   3. Dividimos entre $2$: $x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, con $k \in \mathbb{Z}$.

   Resultado final: $\operatorname{Dom} f = \left\{x \in \mathbb{R} : x \neq \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{k\pi}{2},\ k \in \mathbb{Z}\right\}$

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9. Dominio de una función arcoseno

   Tema

   1. Funciones › 1.2 Dominio de funciones

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Argumento del arcoseno en [−1, 1]

   Halla el dominio de

   $$f(x) = \operatorname{arcsen}\left(\frac{x - 1}{3}\right)$$

   Ver solución

   1. La función $\operatorname{arcsen} u$ está definida solo para $-1 \le u \le 1$.
   2. Planteamos $-1 \le \frac{x - 1}{3} \le 1$.
   3. Multiplicamos por $3 > 0$: $-3 \le x - 1 \le 3$.
   4. Sumamos $1$: $-2 \le x \le 4$.

   Resultado final: $\operatorname{Dom} f = [-2, 4]$

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10. Dominio con varias restricciones simultáneas

    Tema

    1. Funciones › 1.2 Dominio de funciones

    Dificultad

    Avanzado

    Método

    Intersección de las condiciones de cada término

    Halla el dominio de

    $$f(x) = \frac{\sqrt{x + 3}}{\ln(5 - x)} + e^{1/x}$$

    Ver solución

    1. Raíz cuadrada: $x + 3 \ge 0$, es decir, $x \ge -3$.
    2. Logaritmo: su argumento debe ser positivo, $5 - x > 0$, es decir, $x < 5$.
    3. Denominador: $\ln(5 - x) \neq 0$. Como $\ln u = 0$ solo si $u = 1$, se exige $5 - x \neq 1$, es decir, $x \neq 4$.
    4. Exponencial: $e^{u}$ está definida para todo $u$, pero el exponente $\frac{1}{x}$ exige $x \neq 0$.
    5. Intersecamos: $[-3, 5)$ sin los puntos $0$ y $4$.

    Resultado final: $\operatorname{Dom} f = [-3, 0) \cup (0, 4) \cup (4, 5)$

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