1.4 Tipos de funciones: ejercicios resueltos

Función afín que pasa por dos puntos

Tema: 1. Funciones › 1.4 Tipos de funciones
Dificultad: Básico
Método: Pendiente y ecuación punto-pendiente

Halla la función afín $f(x) = mx + b$ cuya gráfica pasa por $(1, 3)$ y $(4, 9)$ .

Ver solución

La pendiente es el cociente de las diferencias: $m = \frac{9 - 3}{4 - 1} = \frac{6}{3} = 2$ .
Usamos el punto $(1, 3)$ : $3 = 2(1) + b$ , de donde $b = 1$ .
Comprobación con el otro punto: $f(4) = 2(4) + 1 = 9$ .
Como $b \neq 0$ , es una función afín y no lineal en sentido estricto (su gráfica no pasa por el origen).

Resultado final: $f(x) = 2x + 1$

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Función cuadrática a partir de sus raíces

Tema: 1. Funciones › 1.4 Tipos de funciones
Dificultad: Intermedio
Método: Forma factorizada de la cuadrática

Halla la función cuadrática cuyos ceros son $x = 1$ y $x = 5$ y cuya gráfica pasa por $(0, 10)$ . Indica su vértice.

Ver solución

Una cuadrática con ceros $r_1$ y $r_2$ se escribe $f(x) = a(x - r_1)(x - r_2)$ con $a \neq 0$ : $f(x) = a(x - 1)(x - 5)$ .
Usamos el punto $(0, 10)$ : $a(-1)(-5) = 5a = 10$ , de donde $a = 2$ .
Desarrollamos: $f(x) = 2(x^2 - 6x + 5) = 2x^2 - 12x + 10$ .
El vértice está en el punto medio de las raíces, $x = 3$ , y $f(3) = 2(2)(-2) = -8$ . Como $a > 0$ , abre hacia arriba.

Resultado final: $f(x) = 2x^2 - 12x + 10$ , con vértice en $(3, -8)$ .

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Funciones pares, impares o ninguna de las dos

Tema: 1. Funciones › 1.4 Tipos de funciones
Dificultad: Básico
Método: Comparación de f(−x) con f(x) y −f(x)

Clasifica como par, impar o ninguna:

f(x) = x^3 - x, \qquad g(x) = x^4 + \cos x, \qquad h(x) = x^2 + x

Ver solución

$f$ es par si $f(-x) = f(x)$ e impar si $f(-x) = -f(x)$ , para todo $x$ del dominio (que debe ser simétrico). Aquí los tres dominios son $\mathbb{R}$ .
$f(-x) = (-x)^3 - (-x) = -x^3 + x = -(x^3 - x) = -f(x)$ : $f$ es impar.
$g(-x) = (-x)^4 + \cos(-x) = x^4 + \cos x = g(x)$ , porque el coseno es par: $g$ es par.
$h(-x) = x^2 - x$ . Con $x = 1$ : $h(-1) = 0$ , mientras que $h(1) = 2$ y $-h(1) = -2$ . No coincide con ninguna de las dos: $h$ no es par ni impar.

Resultado final: $f$ es impar, $g$ es par y $h$ no es par ni impar.

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El producto de dos funciones impares es par

Tema: 1. Funciones › 1.4 Tipos de funciones
Dificultad: Intermedio
Método: Demostración con la definición de paridad

Demuestra que si $f$ y $g$ son impares con el mismo dominio simétrico, entonces $p(x) = f(x)\,g(x)$ es par. Verifica con $f(x) = x$ y $g(x) = \operatorname{sen} x$ .

Ver solución

Hipótesis: $f(-x) = -f(x)$ y $g(-x) = -g(x)$ para todo $x$ del dominio.
Evaluamos $p$ en $-x$ : $p(-x) = f(-x)\,g(-x) = \left(-f(x)\right)\left(-g(x)\right) = f(x)\,g(x) = p(x)$ .
Por lo tanto $p$ es par.
Verificación: $f(x) = x$ y $g(x) = \operatorname{sen} x$ son impares, y $p(x) = x\operatorname{sen} x$ cumple $p(-x) = (-x)\operatorname{sen}(-x) = (-x)(-\operatorname{sen} x) = x\operatorname{sen} x$ .

Resultado final: $p(-x) = p(x)$ ; el producto de dos funciones impares es par (por ejemplo, $x\operatorname{sen} x$ ).

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Período de una suma de funciones trigonométricas

Tema: 1. Funciones › 1.4 Tipos de funciones
Dificultad: Intermedio
Método: Mínimo común múltiplo de los períodos

Halla un período de

f(x) = \operatorname{sen}(3x) + \cos(2x)

Ver solución

Si $\operatorname{sen} u$ y $\cos u$ tienen período $2\pi$ , entonces $\operatorname{sen}(bx)$ y $\cos(bx)$ tienen período $\frac{2\pi}{|b|}$ .
Período de $\operatorname{sen}(3x)$ : $T_1 = \frac{2\pi}{3}$ . Período de $\cos(2x)$ : $T_2 = \frac{2\pi}{2} = \pi$ .
Un período de la suma es un número que sea múltiplo entero de ambos. El menor es $2\pi = 3 \cdot \frac{2\pi}{3} = 2 \cdot \pi$ .
Verificación: $f(x + 2\pi) = \operatorname{sen}(3x + 6\pi) + \cos(2x + 4\pi) = \operatorname{sen}(3x) + \cos(2x) = f(x)$ .

Resultado final: $T = 2\pi$ es un período de $f$ (el menor múltiplo común de $\frac{2\pi}{3}$ y $\pi$ ).

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Función decreciente demostrada por definición

Tema: 1. Funciones › 1.4 Tipos de funciones
Dificultad: Intermedio
Método: Definición de función decreciente

Demuestra que $f(x) = \dfrac{1}{x}$ es decreciente en el intervalo $(0, \infty)$ .

Ver solución

Definición: $f$ es decreciente en $I$ si para todo $x_1, x_2 \in I$ con $x_1 < x_2$ se cumple $f(x_1) > f(x_2)$ .
Sean $0 < x_1 < x_2$ . Calculamos la diferencia: $f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2}$ .
El numerador $x_2 - x_1$ es positivo, y el denominador $x_1 x_2$ también, por ser producto de positivos.
Entonces $f(x_1) - f(x_2) > 0$ , es decir, $f(x_1) > f(x_2)$ .

Resultado final: $f(x) = \dfrac{1}{x}$ es decreciente en $(0, \infty)$ .

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Una función acotada superior e inferiormente

Tema: 1. Funciones › 1.4 Tipos de funciones
Dificultad: Básico
Método: Acotación algebraica

Demuestra que $f(x) = \dfrac{4}{x^2 + 1}$ es acotada y halla su valor máximo.

Ver solución

Una función es acotada si existen $m$ y $M$ con $m \le f(x) \le M$ para todo $x$ del dominio. Aquí el dominio es $\mathbb{R}$ .
Como $x^2 + 1 \ge 1 > 0$ , el cociente es positivo: $f(x) > 0$ .
Como $x^2 + 1 \ge 1$ , su recíproco cumple $\frac{1}{x^2 + 1} \le 1$ , y así $f(x) \le 4$ .
Entonces $0 < f(x) \le 4$ : $f$ es acotada. El valor $4$ se alcanza en $x = 0$ , así que es el máximo.

Resultado final: $0 < f(x) \le 4$ para todo $x$ ; el máximo es $f(0) = 4$ .

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La función escalonada máximo entero

Tema: 1. Funciones › 1.4 Tipos de funciones
Dificultad: Básico
Método: Definición del máximo entero

Sea $f(x) = \lfloor x \rfloor$ , el máximo entero menor o igual que $x$ . Calcula $f(2.7)$ , $f(5)$ , $f(-2.3)$ y $f(-0.5)$ , y describe la gráfica en $[0, 3)$ .

Ver solución

$\lfloor x \rfloor$ es el único entero $n$ tal que $n \le x < n + 1$ .
$f(2.7) = 2$ , porque $2 \le 2.7 < 3$ , y $f(5) = 5$ , porque $5$ ya es entero.
Con negativos hay que tener cuidado: $f(-2.3) = -3$ , porque $-3 \le -2.3 < -2$ , y $f(-0.5) = -1$ , porque $-1 \le -0.5 < 0$ .
En $[0, 3)$ : $f(x) = 0$ en $[0, 1)$ , $f(x) = 1$ en $[1, 2)$ y $f(x) = 2$ en $[2, 3)$ . La gráfica son tres escalones horizontales, cada uno con el extremo izquierdo incluido (punto lleno) y el derecho excluido (punto vacío).

Resultado final: $f(2.7) = 2$ , $f(5) = 5$ , $f(-2.3) = -3$ , $f(-0.5) = -1$ .

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Evaluación de una función definida por partes

Tema: 1. Funciones › 1.4 Tipos de funciones
Dificultad: Básico
Método: Selección del tramo según el valor de x

Sea

f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x < 0 \\ 3, & 0 \le x \le 2 \\ 7 - 2x, & x > 2 \end{cases}

Calcula $f(-3)$ , $f(0)$ , $f(2)$ y $f(4)$ .

Ver solución

Para cada valor se elige el tramo cuya condición cumple $x$ , y solo ese.
$x = -3 < 0$ : primer tramo, $f(-3) = 9 + 1 = 10$ .
$x = 0$ cumple $0 \le x \le 2$ : segundo tramo, $f(0) = 3$ . Lo mismo para $x = 2$ : $f(2) = 3$ .
$x = 4 > 2$ : tercer tramo, $f(4) = 7 - 8 = -1$ .

Resultado final: $f(-3) = 10$ , $f(0) = 3$ , $f(2) = 3$ , $f(4) = -1$ .

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Funciones algebraicas y trascendentes

Tema: 1. Funciones › 1.4 Tipos de funciones
Dificultad: Básico
Método: Clasificación según las operaciones que intervienen

Clasifica como algebraica o trascendente:

\sqrt{x + 1}, \quad 2^{x}, \quad \frac{x^2 + 1}{x - 3}, \quad \ln x, \quad \operatorname{sen} x, \quad x^{2/3}

Ver solución

Una función es algebraica si se obtiene de $x$ y constantes mediante un número finito de sumas, restas, productos, cocientes, potencias enteras y raíces. Las demás elementales (exponenciales, logarítmicas, trigonométricas y sus inversas) son trascendentes.
$\sqrt{x + 1}$ es algebraica (raíz); $\frac{x^2 + 1}{x - 3}$ es algebraica (cociente de polinomios); $x^{2/3} = \sqrt[3]{x^2}$ es algebraica (potencia racional).
$2^{x}$ es trascendente: la variable está en el exponente.
$\ln x$ y $\operatorname{sen} x$ son trascendentes (logarítmica y trigonométrica).

Resultado final: Algebraicas: $\sqrt{x + 1}$ , $\dfrac{x^2 + 1}{x - 3}$ , $x^{2/3}$ . Trascendentes: $2^{x}$ , $\ln x$ , $\operatorname{sen} x$ .

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