4.8 Derivación implícita y otras técnicas

1. Derivación implícita en una circunferencia

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Derivación implícita

   Si $x$ e $y$ cumplen la ecuación de la circunferencia

   $$x^2 + y^2 = 25,$$

   halla $\frac{dy}{dx}$ y evalúala en el punto $(3, 4)$.

   Ver solución

   1. Consideramos $y$ como función de $x$ y derivamos ambos lados respecto de $x$. Por la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}\left(y^2\right) = 2y \frac{dy}{dx}$.
   2. Derivamos: $2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0$, porque la derivada de la constante $25$ es $0$.
   3. Despejamos: $2y \frac{dy}{dx} = -2x$, de donde $\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ (para $y \neq 0$).
   4. Comprobamos que $(3, 4)$ está en la curva: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
   5. Evaluamos en $(3, 4)$: $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}$.

   Resultado final: $\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y}$; en $(3, 4)$ vale $-\dfrac{3}{4}$

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2. Derivación implícita con productos

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Derivación implícita y regla del producto

   Si $x^2y + xy^2 = 6$, halla $\dfrac{dy}{dx}$ en el punto $(1, 2)$.

   Ver solución

   1. Comprobamos que el punto está en la curva: $1 \cdot 2 + 1 \cdot 4 = 6$.
   2. Derivamos respecto de $x$, con $y = y(x)$ y la regla del producto en cada término: $2xy + x^2y' + y^2 + 2xyy' = 0$.
   3. Agrupamos los términos con $y'$: $y'(x^2 + 2xy) = -(2xy + y^2)$, de donde $y' = -\frac{2xy + y^2}{x^2 + 2xy}$.
   4. En $(1, 2)$: $y' = -\frac{4 + 4}{1 + 4} = -\frac{8}{5}$.

   Resultado final: $\dfrac{dy}{dx}\Big|_{(1, 2)} = -\dfrac{8}{5}$

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3. Derivación implícita con una función trigonométrica

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Derivación implícita y regla de la cadena

   Si $\operatorname{sen}(xy) = x$, halla $\dfrac{dy}{dx}$.

   Ver solución

   1. Derivamos ambos lados respecto de $x$. A la izquierda, por la cadena: $\cos(xy) \cdot \frac{d}{dx}(xy)$.
   2. Por la regla del producto, $\frac{d}{dx}(xy) = y + xy'$. Entonces $\cos(xy)(y + xy') = 1$.
   3. Despejamos: $xy'\cos(xy) = 1 - y\cos(xy)$.
   4. Para $x\cos(xy) \neq 0$: $y' = \frac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy)}$.

   Resultado final: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - y\cos(xy)}{x\cos(xy)}$

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4. Derivada de una curva paramétrica

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Fórmula dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)

   Una curva está dada por $x = t^2$, $y = t^3 - 3t$. Halla $\dfrac{dy}{dx}$ en función de $t$ y su valor en $t = 2$.

   Ver solución

   1. Para una curva paramétrica, si $\frac{dx}{dt} \neq 0$: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$.
   2. $\frac{dx}{dt} = 2t$ y $\frac{dy}{dt} = 3t^2 - 3$.
   3. $\frac{dy}{dx} = \frac{3t^2 - 3}{2t}$, para $t \neq 0$.
   4. En $t = 2$ (el punto $(4, 2)$): $\frac{dy}{dx} = \frac{12 - 3}{4} = \frac{9}{4}$.

   Resultado final: $\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3t^2 - 3}{2t}$; en $t = 2$ vale $\dfrac{9}{4}$.

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5. Derivada de una función inversa en un punto

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Fórmula (f⁻¹)'(b) = 1 / f'(a), con f(a) = b

   Sea $f(x) = x^3 + x + 1$. Calcula $\left(f^{-1}\right)'(3)$ sin hallar $f^{-1}$.

   Ver solución

   1. $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$, así que $f$ es creciente e invertible, y su inversa es derivable.
   2. Fórmula: si $f(a) = b$ y $f'(a) \neq 0$, entonces $\left(f^{-1}\right)'(b) = \frac{1}{f'(a)}$.
   3. Buscamos $a$ con $f(a) = 3$: $a^3 + a + 1 = 3$; por inspección, $a = 1$ cumple $1 + 1 + 1 = 3$.
   4. $f'(1) = 4$, así que $\left(f^{-1}\right)'(3) = \frac{1}{4}$.

   Resultado final: $\left(f^{-1}\right)'(3) = \dfrac{1}{4}$

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6. Derivación logarítmica de x elevado a ln x

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Derivación logarítmica

   Deriva $y = x^{\ln x}$, para $x > 0$.

   Ver solución

   1. Tomamos logaritmo: $\ln y = \ln x \cdot \ln x = (\ln x)^2$.
   2. Derivamos implícitamente: $\frac{y'}{y} = 2\ln x \cdot \frac{1}{x}$.
   3. Despejamos: $y' = y \cdot \frac{2\ln x}{x} = x^{\ln x} \cdot \frac{2\ln x}{x}$.
   4. Simplificamos: $y' = 2x^{\ln x - 1}\ln x$.

   Resultado final: $y' = \dfrac{2\ln x}{x}\,x^{\ln x} = 2x^{\ln x - 1}\ln x$

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7. Cálculo de una segunda derivada

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Derivación sucesiva

   Halla $f''(x)$ si $f(x) = x^4 - 3x^2 + e^{2x}$.

   Ver solución

   1. Primera derivada: $f'(x) = 4x^3 - 6x + 2e^{2x}$, usando la cadena en $e^{2x}$.
   2. La segunda derivada es la derivada de $f'$: $f''(x) = 12x^2 - 6 + 4e^{2x}$.

   Resultado final: $f''(x) = 12x^2 - 6 + 4e^{2x}$

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8. Segunda derivada en forma implícita

   Tema

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   Dificultad

   Avanzado

   Método

   Derivación implícita sucesiva y sustitución de la ecuación

   Si $x^2 + y^2 = 25$, halla $\dfrac{d^2y}{dx^2}$ en función de $y$.

   Ver solución

   1. Primera derivada implícita: $2x + 2yy' = 0$, de donde $y' = -\frac{x}{y}$ (con $y \neq 0$).
   2. Derivamos $y' = -\frac{x}{y}$ con la regla del cociente: $y'' = -\frac{1 \cdot y - x \cdot y'}{y^2}$.
   3. Sustituimos $y' = -\frac{x}{y}$: $y'' = -\frac{y + \frac{x^2}{y}}{y^2} = -\frac{y^2 + x^2}{y^3}$.
   4. Usamos la ecuación de la curva, $x^2 + y^2 = 25$: $y'' = -\frac{25}{y^3}$.

   Resultado final: $\dfrac{d^2y}{dx^2} = -\dfrac{25}{y^3}$

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9. Tercera derivada de una función trigonométrica

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Derivación sucesiva con la regla de la cadena

   Halla $f'''(x)$ si $f(x) = \operatorname{sen}(2x)$.

   Ver solución

   1. $f'(x) = 2\cos(2x)$.
   2. $f''(x) = 2 \cdot \left(-\operatorname{sen}(2x)\right) \cdot 2 = -4\operatorname{sen}(2x)$.
   3. $f'''(x) = -4\cos(2x) \cdot 2 = -8\cos(2x)$.

   Resultado final: $f'''(x) = -8\cos(2x)$

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10. Derivada de orden n

    Tema

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    Dificultad

    Avanzado

    Método

    Búsqueda de un patrón e inducción matemática

    Halla la derivada de orden $n$ de $f(x) = \dfrac{1}{x}$ y demuéstrala por inducción.

    Ver solución

    1. Calculamos algunas: $f'(x) = -x^{-2}$, $f''(x) = 2x^{-3}$, $f'''(x) = -6x^{-4}$, $f^{(4)}(x) = 24x^{-5}$.
    2. Patrón: los signos se alternan y los coeficientes son $1, 2, 6, 24 = n!$. Conjetura: $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$.
    3. Base: para $n = 1$, $\frac{(-1)^1 1!}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$, correcto.
    4. Paso inductivo: si $f^{(n)}(x) = (-1)^n n!\,x^{-(n+1)}$, derivando se obtiene $f^{(n+1)}(x) = (-1)^n n!\,(-(n + 1))x^{-(n+2)} = (-1)^{n+1}(n + 1)!\,x^{-(n+2)}$, que es la fórmula para $n + 1$.

    Resultado final: $f^{(n)}(x) = \dfrac{(-1)^n\,n!}{x^{n+1}}$ para todo $n \ge 1$.

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