4.6 Derivadas trigonométricas

1. Derivada de un producto de funciones trigonométricas

   Tema

   4. Derivadas › 4.6 Derivadas trigonométricas

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Regla del producto e identidad del ángulo doble

   Deriva la siguiente función:

   $$f(x) = \operatorname{sen} x \cos x$$

   Ver solución

   1. $f$ es el producto de $u(x) = \operatorname{sen} x$ y $v(x) = \cos x$. Usamos la regla del producto: $(uv)' = u'v + uv'$.
   2. Recordamos las derivadas básicas: $\frac{d}{dx} \operatorname{sen} x = \cos x$ y $\frac{d}{dx} \cos x = -\operatorname{sen} x$.
   3. Aplicamos la regla: $f'(x) = \cos x \cdot \cos x + \operatorname{sen} x \cdot (-\operatorname{sen} x)$.
   4. Simplificamos: $f'(x) = \cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x$.
   5. Por la identidad del ángulo doble, $\cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x = \cos(2x)$.

   Resultado final: $f'(x) = \cos^2 x - \operatorname{sen}^2 x = \cos(2x)$

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2. Derivada de la tangente con la regla del cociente

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Regla del cociente e identidad pitagórica

   Demuestra que $\dfrac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$.

   Ver solución

   1. $\tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x}$, donde $\cos x \neq 0$.
   2. Regla del cociente: $\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos x \cdot \cos x - \operatorname{sen} x \cdot (-\operatorname{sen} x)}{\cos^2 x}$.
   3. El numerador es $\cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x = 1$ (identidad pitagórica).
   4. Entonces $\frac{d}{dx}\tan x = \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$.

   Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x$

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3. Derivada de la secante

   Tema

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   Dificultad

   Básico

   Método

   Regla de la cadena con potencia negativa

   Demuestra que $\dfrac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$.

   Ver solución

   1. $\sec x = \frac{1}{\cos x} = (\cos x)^{-1}$, donde $\cos x \neq 0$.
   2. Por la cadena: $\frac{d}{dx}(\cos x)^{-1} = -(\cos x)^{-2} \cdot (-\operatorname{sen} x) = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^2 x}$.
   3. Separamos: $\frac{\operatorname{sen} x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} = \sec x\tan x$.
   4. De forma análoga se obtienen $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$ y $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$.

   Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$

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4. Seno de una función: regla de la cadena

   Tema

   4. Derivadas › 4.6 Derivadas trigonométricas

   Dificultad

   Básico

   Método

   Regla de la cadena: (sen u)' = cos u · u'

   Deriva $f(x) = \operatorname{sen}\left(3x^2\right)$.

   Ver solución

   1. Con $u = 3x^2$: $\frac{d}{dx}\operatorname{sen} u = \cos u \cdot u'$.
   2. $u' = 6x$.
   3. Entonces $f'(x) = \cos\left(3x^2\right) \cdot 6x = 6x\cos\left(3x^2\right)$.

   Resultado final: $f'(x) = 6x\cos\left(3x^2\right)$

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5. Potencia de un coseno con ángulo múltiple

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Regla de la cadena en tres capas

   Deriva $f(x) = \cos^3(2x)$.

   Ver solución

   1. $f(x) = [\cos(2x)]^3$. Hay tres capas: el cubo, el coseno y $2x$.
   2. Derivada del cubo: $3[\cos(2x)]^2$.
   3. Por la cadena, se multiplica por la derivada del coseno, $-\operatorname{sen}(2x)$, y por la derivada de $2x$, que es $2$.
   4. $f'(x) = 3\cos^2(2x) \cdot \left(-\operatorname{sen}(2x)\right) \cdot 2 = -6\cos^2(2x)\operatorname{sen}(2x)$.

   Resultado final: $f'(x) = -6\cos^2(2x)\operatorname{sen}(2x)$

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6. Producto de una potencia y una tangente

   Tema

   4. Derivadas › 4.6 Derivadas trigonométricas

   Dificultad

   Básico

   Método

   Regla del producto

   Deriva $f(x) = x^2\tan x$.

   Ver solución

   1. Regla del producto con $u = x^2$ y $v = \tan x$: $f' = u'v + uv'$.
   2. $u' = 2x$ y $v' = \sec^2 x$.
   3. $f'(x) = 2x\tan x + x^2\sec^2 x$.

   Resultado final: $f'(x) = 2x\tan x + x^2\sec^2 x$

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7. Cociente trigonométrico que se simplifica

   Tema

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   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Regla del cociente e identidad pitagórica

   Deriva y simplifica

   $$f(x) = \frac{\operatorname{sen} x}{1 + \cos x}$$

   Ver solución

   1. Regla del cociente: $f'(x) = \frac{\cos x(1 + \cos x) - \operatorname{sen} x(-\operatorname{sen} x)}{(1 + \cos x)^2}$.
   2. Numerador: $\cos x + \cos^2 x + \operatorname{sen}^2 x = \cos x + 1$.
   3. Entonces $f'(x) = \frac{1 + \cos x}{(1 + \cos x)^2}$.
   4. Simplificamos, donde $1 + \cos x \neq 0$: $f'(x) = \frac{1}{1 + \cos x}$.

   Resultado final: $f'(x) = \dfrac{1}{1 + \cos x}$

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8. Simplificar con el ángulo doble antes de derivar

   Tema

   4. Derivadas › 4.6 Derivadas trigonométricas

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Identidad del ángulo doble y regla de la cadena

   Deriva $f(x) = \operatorname{sen}(2x)\cos(2x)$ usando primero una identidad.

   Ver solución

   1. Por la identidad $\operatorname{sen}(2\theta) = 2\operatorname{sen}\theta\cos\theta$ con $\theta = 2x$: $\operatorname{sen}(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\operatorname{sen}(4x)$.
   2. Derivamos: $f'(x) = \frac{1}{2}\cos(4x) \cdot 4 = 2\cos(4x)$.
   3. Comprobación con la regla del producto: $2\cos(2x)\cos(2x) - 2\operatorname{sen}(2x)\operatorname{sen}(2x) = 2\left[\cos^2(2x) - \operatorname{sen}^2(2x)\right] = 2\cos(4x)$.

   Resultado final: $f'(x) = 2\cos(4x)$

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9. Derivada de una cosecante compuesta

   Tema

   4. Derivadas › 4.6 Derivadas trigonométricas

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Regla de la cadena con csc u

   Deriva $f(x) = \csc\left(\sqrt{x}\right)$, para $x > 0$ con $\sqrt{x} \neq k\pi$.

   Ver solución

   1. Fórmula: $\frac{d}{dx}\csc u = -\csc u\cot u \cdot u'$.
   2. $u = \sqrt{x}$, con $u' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
   3. Entonces $f'(x) = -\csc\left(\sqrt{x}\right)\cot\left(\sqrt{x}\right) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

   Resultado final: $f'(x) = -\dfrac{\csc\left(\sqrt{x}\right)\cot\left(\sqrt{x}\right)}{2\sqrt{x}}$

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10. Derivada de ln(sec x + tan x)

    Tema

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    Dificultad

    Avanzado

    Método

    Regla de la cadena y factorización

    Demuestra que $\dfrac{d}{dx}\ln\left(\sec x + \tan x\right) = \sec x$, donde $\sec x + \tan x > 0$.

    Ver solución

    1. Por la cadena: $\frac{d}{dx}\ln u = \frac{u'}{u}$, con $u = \sec x + \tan x$.
    2. $u' = \sec x\tan x + \sec^2 x$.
    3. Factorizamos $\sec x$: $u' = \sec x(\tan x + \sec x)$.
    4. Entonces $\frac{u'}{u} = \frac{\sec x(\sec x + \tan x)}{\sec x + \tan x} = \sec x$. Este resultado da la antiderivada de $\sec x$ que se usa en integrales.

    Resultado final: $\dfrac{d}{dx}\ln\left(\sec x + \tan x\right) = \sec x$

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