1.1 Conceptos fundamentales

1. ¿Cuándo una relación es una función?

   Tema

   1. Funciones › 1.1 Conceptos fundamentales

   Dificultad

   Básico

   Método

   Definición de función

   Determina cuál de las siguientes relaciones es una función de $A = \{1, 2, 3\}$ en $\mathbb{R}$:

   $$R_1 = \{(1, 2), (2, 3), (1, 4)\}, \qquad R_2 = \{(1, 2), (2, 2), (3, 5)\}$$

   Ver solución

   1. Una relación de $A$ en $B$ es función si cada elemento de $A$ tiene exactamente una imagen en $B$.
   2. En $R_1$, el elemento $1$ aparece con dos imágenes distintas: $(1, 2)$ y $(1, 4)$. Además, $3 \in A$ no tiene imagen. $R_1$ no es función.
   3. En $R_2$, cada elemento de $A$ tiene una sola imagen: $1 \mapsto 2$, $2 \mapsto 2$ y $3 \mapsto 5$.
   4. Que $1$ y $2$ tengan la misma imagen ($2$) no impide que $R_2$ sea función: la definición prohíbe que un elemento tenga dos imágenes, no que dos elementos compartan una.

   Resultado final: $R_2$ es función; $R_1$ no lo es.

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2. Evaluación de una función en números y expresiones

   Tema

   1. Funciones › 1.1 Conceptos fundamentales

   Dificultad

   Básico

   Método

   Sustitución en la regla de correspondencia

   Sea $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$. Calcula $f(-2)$ y $f(a + 1)$.

   Ver solución

   1. Evaluar es reemplazar $x$ por el valor dado en cada aparición, usando paréntesis.
   2. $f(-2) = 2(-2)^2 - 3(-2) + 1 = 2(4) + 6 + 1 = 15$.
   3. $f(a + 1) = 2(a + 1)^2 - 3(a + 1) + 1$.
   4. Desarrollamos: $2(a^2 + 2a + 1) - 3a - 3 + 1 = 2a^2 + 4a + 2 - 3a - 2 = 2a^2 + a$.

   Resultado final: $f(-2) = 15$ y $f(a + 1) = 2a^2 + a$

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3. Cociente de diferencias de una función cuadrática

   Tema

   1. Funciones › 1.1 Conceptos fundamentales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Evaluación y simplificación algebraica

   Sea $f(x) = x^2 + x$. Simplifica, para $h \neq 0$:

   $$\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

   Ver solución

   1. Evaluamos: $f(x + h) = (x + h)^2 + (x + h) = x^2 + 2xh + h^2 + x + h$.
   2. Restamos $f(x) = x^2 + x$: $f(x + h) - f(x) = 2xh + h^2 + h$.
   3. Factorizamos $h$: $h(2x + h + 1)$.
   4. Dividimos entre $h \neq 0$: $\frac{h(2x + h + 1)}{h} = 2x + h + 1$.

   Resultado final: $\dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = 2x + h + 1$

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4. Ceros de una función polinómica

   Tema

   1. Funciones › 1.1 Conceptos fundamentales

   Dificultad

   Básico

   Método

   Factorización y producto nulo

   Halla los ceros de la función

   $$f(x) = x^3 - 4x$$

   Ver solución

   1. Los ceros son los valores de $x$ del dominio tales que $f(x) = 0$. El dominio es $\mathbb{R}$.
   2. Planteamos $x^3 - 4x = 0$ y factorizamos: $x(x^2 - 4) = x(x - 2)(x + 2) = 0$.
   3. Por la propiedad del producto nulo, algún factor es cero: $x = 0$, $x = 2$ o $x = -2$.
   4. Comprobación: $f(2) = 8 - 8 = 0$ y $f(-2) = -8 + 8 = 0$.

   Resultado final: Los ceros de $f$ son $x = -2$, $x = 0$ y $x = 2$.

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5. Intersecciones de una función racional con los ejes

   Tema

   1. Funciones › 1.1 Conceptos fundamentales

   Dificultad

   Básico

   Método

   Evaluación en x = 0 y resolución de f(x) = 0

   Halla las intersecciones con los ejes coordenados de

   $$f(x) = \frac{x^2 - 9}{x + 1}$$

   Ver solución

   1. Dominio: $x + 1 \neq 0$, es decir, $\operatorname{Dom} f = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
   2. Eje $y$: se evalúa en $x = 0$, que pertenece al dominio: $f(0) = \frac{-9}{1} = -9$. El punto es $(0, -9)$.
   3. Eje $x$: se resuelve $f(x) = 0$. Una fracción vale cero cuando su numerador vale cero y su denominador no: $x^2 - 9 = 0$, de donde $x = 3$ o $x = -3$.
   4. Ambos valores pertenecen al dominio (son distintos de $-1$). Los puntos son $(3, 0)$ y $(-3, 0)$.

   Resultado final: Corta al eje $y$ en $(0, -9)$ y al eje $x$ en $(-3, 0)$ y $(3, 0)$.

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6. Criterio de la recta vertical con una circunferencia

   Tema

   1. Funciones › 1.1 Conceptos fundamentales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Criterio de la recta vertical

   ¿La ecuación $x^2 + y^2 = 25$ define a $y$ como función de $x$? ¿Y la ecuación $y = \sqrt{25 - x^2}$?

   Ver solución

   1. Criterio de la recta vertical: una curva es gráfica de una función de $x$ si toda recta vertical la corta a lo sumo en un punto.
   2. En $x^2 + y^2 = 25$ tomamos $x = 3$: $9 + y^2 = 25$, de donde $y = 4$ o $y = -4$. La recta vertical $x = 3$ corta la circunferencia en $(3, 4)$ y $(3, -4)$. No es función de $x$.
   3. En $y = \sqrt{25 - x^2}$, para cada $x \in [-5, 5]$ la raíz cuadrada principal da un único valor $y \ge 0$.
   4. Su gráfica es la semicircunferencia superior, y cada recta vertical la corta en un solo punto: sí es función, con dominio $[-5, 5]$.

   Resultado final: $x^2 + y^2 = 25$ no define una función de $x$; $y = \sqrt{25 - x^2}$ sí, con dominio $[-5, 5]$.

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7. Área de un cuadrado en función de su perímetro

   Tema

   1. Funciones › 1.1 Conceptos fundamentales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Modelación y despeje

   Expresa el área $A$ de un cuadrado como función de su perímetro $P$. Indica cuál es la variable independiente, cuál la dependiente y el dominio con sentido geométrico.

   Ver solución

   1. Si el lado mide $\ell$, entonces $P = 4\ell$ y $A = \ell^2$.
   2. Despejamos el lado en función del perímetro: $\ell = \frac{P}{4}$.
   3. Sustituimos en el área: $A(P) = \left(\frac{P}{4}\right)^2 = \frac{P^2}{16}$.
   4. La variable independiente es $P$ (se elige libremente) y la dependiente es $A$ (su valor lo determina $P$).
   5. Un perímetro tiene sentido si es positivo, así que el dominio es $P > 0$.

   Resultado final: $A(P) = \dfrac{P^2}{16}$, con $P > 0$; $P$ es la variable independiente y $A$ la dependiente.

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8. Imagen y preimagen en una función lineal

   Tema

   1. Funciones › 1.1 Conceptos fundamentales

   Dificultad

   Básico

   Método

   Evaluación y resolución de ecuaciones

   Sea $f(x) = 3x - 5$. Halla la imagen de $4$ y la preimagen de $10$.

   Ver solución

   1. La imagen de $4$ es $f(4)$: $3(4) - 5 = 12 - 5 = 7$.
   2. La preimagen de $10$ es el valor de $x$ tal que $f(x) = 10$.
   3. Resolvemos $3x - 5 = 10$: $3x = 15$, de donde $x = 5$.
   4. Comprobación: $f(5) = 15 - 5 = 10$.

   Resultado final: La imagen de $4$ es $7$ y la preimagen de $10$ es $5$.

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9. Diferencia entre codominio y rango

   Tema

   1. Funciones › 1.1 Conceptos fundamentales

   Dificultad

   Intermedio

   Método

   Definiciones de codominio, rango y preimagen

   Sea $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ definida por $f(x) = x^2$. Indica su codominio y su rango, y determina si $-1$ tiene preimagen.

   Ver solución

   1. El codominio es el conjunto de llegada que se declara al definir la función: aquí es $\mathbb{R}$.
   2. El rango (o imagen) es el conjunto de valores que $f$ realmente toma. Como $x^2 \ge 0$ para todo $x$, ningún valor negativo es imagen.
   3. Todo $y \ge 0$ sí se alcanza: $f(\sqrt{y}) = y$. Por lo tanto, $\operatorname{Ran} f = [0, \infty)$.
   4. La preimagen de $-1$ requiere $x^2 = -1$, que no tiene solución real. El número $-1$ está en el codominio pero no en el rango.

   Resultado final: Codominio $\mathbb{R}$; rango $[0, \infty)$; $-1$ no tiene preimagen.

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10. Representación gráfica de |x − 1| con una tabla

    Tema

    1. Funciones › 1.1 Conceptos fundamentales

    Dificultad

    Básico

    Método

    Definición por partes del valor absoluto y tabla de valores

    Describe la gráfica de

    $$f(x) = |x - 1|$$

    escribiéndola por partes y con una tabla de valores.

    Ver solución

    1. Por definición del valor absoluto: $f(x) = x - 1$ si $x \ge 1$, y $f(x) = -(x - 1) = 1 - x$ si $x < 1$.

    2. Tabla de valores:

       $x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
       $f(x)$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

    3. Para $x \ge 1$ la gráfica es la recta $y = x - 1$ (pendiente $1$); para $x < 1$ es la recta $y = 1 - x$ (pendiente $-1$).

    4. Las dos semirrectas se unen en el vértice $(1, 0)$: la gráfica tiene forma de «V», simétrica respecto de la recta $x = 1$, con dominio $\mathbb{R}$ y rango $[0, \infty)$.

    Resultado final: Gráfica en forma de «V» con vértice en $(1, 0)$; $f(x) = 1 - x$ para $x < 1$ y $f(x) = x - 1$ para $x \ge 1$.

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