1.9 Transformaciones gráficas: ejercicios resueltos

Traslación vertical f(x) + k

Tema: 1. Funciones › 1.9 Transformaciones gráficas
Dificultad: Básico
Método: Traslación vertical

Sea $f(x) = x^2$ . Describe la gráfica de $g(x) = x^2 + 3$ respecto de la de $f$ e indica a qué punto va $(2, 4)$ .

Ver solución

$g(x) = f(x) + 3$ : a cada valor de la función se le suma $3$ , con el mismo $x$ .
Eso traslada la gráfica $3$ unidades hacia arriba: cada punto $(x, y)$ pasa a $(x, y + 3)$ .
El punto $(2, 4)$ de $f$ pasa a $(2, 7)$ , y en efecto $g(2) = 4 + 3 = 7$ .
El vértice pasa de $(0, 0)$ a $(0, 3)$ , y el rango cambia de $[0, \infty)$ a $[3, \infty)$ .

Resultado final: La gráfica de $g$ es la de $f$ trasladada $3$ unidades hacia arriba; $(2, 4) \mapsto (2, 7)$ .

$f(x) = x^2$
$g(x) = x^2 + 3$

La parábola g es la parábola f desplazada 3 unidades hacia arriba; el punto (2, 4) pasa a (2, 7).

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Traslación horizontal f(x − h)

Tema: 1. Funciones › 1.9 Transformaciones gráficas
Dificultad: Básico
Método: Traslación horizontal

Sea $f(x) = x^2$ . Describe la gráfica de $g(x) = (x - 4)^2$ respecto de la de $f$ .

Ver solución

$g(x) = f(x - 4)$ . El valor que $f$ toma en $0$ , $g$ lo toma cuando $x - 4 = 0$ , es decir, en $x = 4$ .
Por eso la gráfica se traslada $4$ unidades hacia la derecha: cada punto $(x, y)$ pasa a $(x + 4, y)$ .
El signo engaña: $f(x - h)$ con $h > 0$ desplaza a la derecha, no a la izquierda.
El vértice pasa de $(0, 0)$ a $(4, 0)$ ; el rango no cambia.

Resultado final: La gráfica de $g$ es la de $f$ trasladada $4$ unidades hacia la derecha, con vértice en $(4, 0)$ .

$f(x) = x^2$
$g(x) = (x - 4)^2$

La parábola g es la parábola f desplazada 4 unidades a la derecha; el vértice pasa de (0, 0) a (4, 0).

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Reflexiones respecto de los ejes

Tema: 1. Funciones › 1.9 Transformaciones gráficas
Dificultad: Básico
Método: Reflexión −f(x) y f(−x)

Sea $f(x) = \sqrt{x}$ . Describe las gráficas de $g(x) = -\sqrt{x}$ y $h(x) = \sqrt{-x}$ , con sus dominios y rangos.

Ver solución

$g(x) = -f(x)$ cambia el signo de cada valor: cada punto $(x, y)$ pasa a $(x, -y)$ . Es la reflexión respecto del eje $x$ .
$g$ tiene el mismo dominio que $f$ , $[0, \infty)$ , y su rango es $(-\infty, 0]$ .
$h(x) = f(-x)$ evalúa $f$ en el opuesto: cada punto $(x, y)$ pasa a $(-x, y)$ . Es la reflexión respecto del eje $y$ .
$h$ exige $-x \ge 0$ , así que su dominio es $(-\infty, 0]$ , y su rango sigue siendo $[0, \infty)$ .

Resultado final: $g$ refleja $f$ en el eje $x$ (dominio $[0, \infty)$ , rango $(-\infty, 0]$ ); $h$ la refleja en el eje $y$ (dominio $(-\infty, 0]$ , rango $[0, \infty)$ ).

$f(x) = \sqrt{x}$
$g(x) = -\sqrt{x}$
$h(x) = \sqrt{-x}$

f está en el primer cuadrante; g es su reflejo respecto del eje x (cuarto cuadrante) y h su reflejo respecto del eje y (segundo cuadrante).

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Estiramiento vertical a·f(x)

Tema: 1. Funciones › 1.9 Transformaciones gráficas
Dificultad: Básico
Método: Estiramiento vertical

Compara la gráfica de $g(x) = 3\operatorname{sen} x$ con la de $f(x) = \operatorname{sen} x$ : amplitud, rango y período.

Ver solución

$g(x) = 3f(x)$ multiplica cada valor por $3$ : cada punto $(x, y)$ pasa a $(x, 3y)$ . Es un estiramiento vertical de factor $3$ .
La amplitud pasa de $1$ a $3$ y el rango de $[-1, 1]$ a $[-3, 3]$ .
Los ceros no cambian ( $3 \cdot 0 = 0$ ): siguen en $x = k\pi$ .
El período no cambia, porque la transformación no actúa sobre $x$ : sigue siendo $2\pi$ .

Resultado final: Amplitud $3$ , rango $[-3, 3]$ , período $2\pi$ ; es un estiramiento vertical de factor $3$ .

$f(x) = \operatorname{sen} x$
$g(x) = 3\operatorname{sen} x$

g oscila entre -3 y 3 con los mismos ceros y el mismo período 2π que f, que oscila entre -1 y 1.

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Compresión horizontal f(bx)

Tema: 1. Funciones › 1.9 Transformaciones gráficas
Dificultad: Básico
Método: Compresión horizontal

Compara la gráfica de $g(x) = \operatorname{sen}(2x)$ con la de $f(x) = \operatorname{sen} x$ : período, ceros y rango.

Ver solución

$g(x) = f(2x)$ : el valor que $f$ toma en $x$ , $g$ lo toma en $\frac{x}{2}$ . Cada punto $(x, y)$ pasa a $\left(\frac{x}{2}, y\right)$ . Es una compresión horizontal de factor $\frac{1}{2}$ .
El período pasa de $2\pi$ a $\frac{2\pi}{2} = \pi$ .
Los ceros pasan de $x = k\pi$ a $2x = k\pi$ , es decir, $x = \frac{k\pi}{2}$ .
El rango no cambia, $[-1, 1]$ , porque la transformación solo actúa sobre $x$ .

Resultado final: Período $\pi$ , ceros en $x = \dfrac{k\pi}{2}$ , rango $[-1, 1]$ ; es una compresión horizontal de factor $\dfrac{1}{2}$ .

$f(x) = \operatorname{sen} x$
$g(x) = \operatorname{sen}(2x)$

g completa dos ondas en el intervalo de 0 a 2π, donde f completa una: su período es π y su rango sigue siendo [-1, 1].

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Combinación de transformaciones en una parábola

Tema: 1. Funciones › 1.9 Transformaciones gráficas
Dificultad: Intermedio
Método: Combinación de transformaciones en orden

Describe cómo se obtiene la gráfica de $g(x) = -2(x + 1)^2 + 3$ a partir de $f(x) = x^2$ . Indica su vértice, su orientación y su rango.

Ver solución

$(x + 1)^2 = f(x + 1)$ : traslación de $1$ unidad hacia la izquierda.
$2(x + 1)^2$ : estiramiento vertical de factor $2$ .
$-2(x + 1)^2$ : reflexión respecto del eje $x$ , así que la parábola abre hacia abajo.
$-2(x + 1)^2 + 3$ : traslación de $3$ unidades hacia arriba.
El vértice pasa de $(0, 0)$ a $(-1, 3)$ . Como abre hacia abajo, $g(x) \le 3$ y el rango es $(-\infty, 3]$ .

Resultado final: Izquierda $1$ , estiramiento $\times 2$ , reflexión en el eje $x$ y arriba $3$ ; vértice $(-1, 3)$ , abre hacia abajo, rango $(-\infty, 3]$ .

$f(x) = x^2$
$g(x) = -2(x + 1)^2 + 3$

g es una parábola que abre hacia abajo, más estrecha que f, con vértice en (-1, 3).

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El orden importa en f(2x − 6)

Tema: 1. Funciones › 1.9 Transformaciones gráficas
Dificultad: Intermedio
Método: Factorización del argumento

El punto $(4, 5)$ está en la gráfica de $y = f(x)$ . ¿Qué punto le corresponde en la gráfica de $y = f(2x - 6)$ ? Describe la transformación.

Ver solución

Factorizamos el argumento: $f(2x - 6) = f\left(2(x - 3)\right)$ . Esto es una compresión horizontal de factor $\frac{1}{2}$ seguida de una traslación de $3$ unidades a la derecha.
Atajo seguro: buscamos el $x$ que hace que el argumento valga $4$ , es decir, $2x - 6 = 4$ , de donde $x = 5$ .
En ese $x$ , $f(2x - 6) = f(4) = 5$ . El punto correspondiente es $(5, 5)$ .
Comprobación con las transformaciones del paso 1: comprimir lleva $x = 4$ a $x = 2$ , y trasladar $3$ a la derecha lo lleva a $x = 5$ . Coincide con el paso 2. (Comprimir y luego trasladar $6$ daría $x = 8$ , que es incorrecto: la traslación es de $3$ porque se factoriza el $2$ .)

Resultado final: El punto $(4, 5)$ corresponde a $(5, 5)$ ; la transformación es una compresión horizontal de factor $\frac{1}{2}$ seguida de una traslación de $3$ unidades a la derecha.

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Dominio y rango después de transformar

Tema: 1. Funciones › 1.9 Transformaciones gráficas
Dificultad: Intermedio
Método: Efecto de cada transformación sobre x y sobre y

Una función $f$ tiene dominio $[0, 4]$ y rango $[-1, 3]$ . Halla el dominio y el rango de

g(x) = 2f(x - 1) + 1

Ver solución

Dominio: $g(x)$ existe cuando $x - 1 \in [0, 4]$ , es decir, $0 \le x - 1 \le 4$ , o sea $1 \le x \le 5$ . La traslación de $1$ a la derecha mueve el dominio.
Rango: cuando $x$ recorre $[1, 5]$ , $f(x - 1)$ recorre todo el rango de $f$ , $[-1, 3]$ .
Multiplicamos por $2$ : $2f(x - 1) \in [-2, 6]$ .
Sumamos $1$ : $2f(x - 1) + 1 \in [-1, 7]$ .

Resultado final: $\operatorname{Dom} g = [1, 5]$ y $\operatorname{Ran} g = [-1, 7]$

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Escribir la ecuación a partir de las transformaciones

Tema: 1. Funciones › 1.9 Transformaciones gráficas
Dificultad: Intermedio
Método: Composición de transformaciones sobre |x|

La gráfica de $f(x) = |x|$ se traslada $2$ unidades a la izquierda, se refleja respecto del eje $x$ y se traslada $5$ unidades hacia arriba. Escribe la nueva función $g$ , su vértice y sus intersecciones con el eje $x$ .

Ver solución

Izquierda $2$ : $|x + 2|$ . Reflexión en el eje $x$ : $-|x + 2|$ . Arriba $5$ : $g(x) = -|x + 2| + 5$ .
El vértice pasa de $(0, 0)$ a $(-2, 5)$ ; la gráfica es una «V» invertida, con máximo $5$ .
Intersecciones con el eje $x$ : $-|x + 2| + 5 = 0$ , es decir, $|x + 2| = 5$ .
Entonces $x + 2 = 5$ o $x + 2 = -5$ , de donde $x = 3$ o $x = -7$ .

Resultado final: $g(x) = -|x + 2| + 5$ , con vértice $(-2, 5)$ ; corta al eje $x$ en $(-7, 0)$ y $(3, 0)$ .

$f(x) = |x|$
$g(x) = -|x + 2| + 5$

g es una V invertida con vértice en (-2, 5) que corta al eje x en (-7, 0) y (3, 0).

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Una cuadrática como transformación de x²

Tema: 1. Funciones › 1.9 Transformaciones gráficas
Dificultad: Intermedio
Método: Completación de cuadrados

Escribe $f(x) = 2x^2 - 12x + 13$ como transformación de $y = x^2$ y describe las transformaciones.

Ver solución

Factorizamos el coeficiente principal en los términos con $x$ : $f(x) = 2(x^2 - 6x) + 13$ .
Completamos cuadrados: $x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9$ . Entonces $f(x) = 2(x - 3)^2 - 18 + 13 = 2(x - 3)^2 - 5$ .
A partir de $x^2$ : traslación de $3$ unidades a la derecha, estiramiento vertical de factor $2$ y traslación de $5$ unidades hacia abajo.
Vértice: $(3, -5)$ . Comprobación: $f(3) = 18 - 36 + 13 = -5$ .

Resultado final: $f(x) = 2(x - 3)^2 - 5$ : derecha $3$ , estiramiento vertical $\times 2$ y abajo $5$ ; vértice $(3, -5)$ .

$y = x^2$
$f(x) = 2(x - 3)^2 - 5$

f es la parábola y = x² desplazada 3 a la derecha, estirada verticalmente al doble y bajada 5 unidades, con vértice en (3, -5).

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